同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。
同构基本定理, 此條目没有列出任何参考或来源, 2012年2月28日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 或称同态基本定理, 同型定理, 英語, isomorphism, theorems, 包含三个定理, 在泛代数领域有广泛的应用, 它们证明了一些自然同构的存在性, 目录, 历史, 群同構基本定理, 群同構第一定理, 群同構第二定理, 群同構第三定理, 环和模上的形式, 推广, 第一同构定理, 第二同构定理, 第三同构定理历史, 编. 此條目没有列出任何参考或来源 2012年2月28日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 同构基本定理 或称同态基本定理 同型定理 英語 Isomorphism theorems 包含三个定理 在泛代数领域有广泛的应用 它们证明了一些自然同构的存在性 目录 1 历史 2 群同構基本定理 2 1 群同構第一定理 2 2 群同構第二定理 2 3 群同構第三定理 3 环和模上的形式 4 推广 4 1 第一同构定理 4 2 第二同构定理 4 3 第三同构定理历史 编辑同构基本定理最早由埃米 诺特 Emmy Noether 在她于1927在德国数学期刊数学分析 Mathematische Annalen 发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkorpern中明确阐述 群同構基本定理 编辑群论中的同构基本定理形式相对简单 却表达了商群的重要性质 定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念 群同構第一定理 编辑 給定一個群同態 f G G displaystyle f G to G nbsp 根據群同態第一基本定理 我們可以把G displaystyle G nbsp 除以G displaystyle G nbsp 的核 使f displaystyle f nbsp 變成單射 直觀來講 把一個群G displaystyle G nbsp 除以G displaystyle G nbsp 的子群H displaystyle H nbsp 相當於把H displaystyle H nbsp 裡的元素看成0 一元素 把f displaystyle f nbsp 的核除掉後 我們使得f x 0 displaystyle f x 0 nbsp 只在 x 0 displaystyle x 0 nbsp 時才會成立 這是f displaystyle f nbsp 的單射性的等價敘述 我們必須先確定商群具有群的結構 才可以對G Ker f G displaystyle G operatorname Ker f to G nbsp 進行討論 定理 給定G displaystyle G nbsp 和G displaystyle G nbsp 兩個群 和f G G displaystyle f G rightarrow G nbsp 群同態 則Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 是一個G displaystyle G nbsp 的正規子群 證明 記 displaystyle cdot nbsp 為G displaystyle G nbsp 和G displaystyle G nbsp 的運算符號 記e displaystyle e nbsp 和e displaystyle e nbsp 他們的單位元 我們可以驗證Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 在共軛運算下封閉 即對於所有x G displaystyle x in G nbsp 所有h Ker f displaystyle h in operatorname Ker f nbsp 有x h x 1 Ker f displaystyle x cdot h cdot x 1 in operatorname Ker f nbsp 我們有f x h x 1 f x f h f x 1 displaystyle f x cdot h cdot x 1 f x cdot f h cdot f x 1 nbsp 由於h displaystyle h nbsp 在Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 裡面 即f h e displaystyle f h e nbsp 我們推論f x h x 1 f x f x 1 f x x 1 f e e displaystyle f x cdot h cdot x 1 f x cdot f x 1 f x cdot x 1 f e e nbsp 因此 x h x 1 displaystyle x cdot h cdot x 1 nbsp 在Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 裡面 故Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 是G displaystyle G nbsp 的正規子群 Ker f displaystyle operatorname Ker f nbsp 是G displaystyle G nbsp 的正規子群的這個性質讓我們可以在商群G Ker f displaystyle G operatorname Ker f nbsp 上定義一個與G displaystyle G nbsp 的運算規則相容的運算規則 因為相容性的緣故 群同態f G G displaystyle f G rightarrow G nbsp 誘導出群同構f G Ker f Im f displaystyle widehat f G operatorname Ker f rightarrow operatorname Im f nbsp 我們有以下的定理 群同構第一定理 給定G displaystyle G nbsp 和G displaystyle G nbsp 兩個群 f G G displaystyle f G rightarrow G nbsp 群同態 則f displaystyle f nbsp 誘導出一個從G Ker f displaystyle G operatorname Ker f nbsp 打到f G displaystyle f G nbsp 的群同構 證明 記H displaystyle H nbsp 為f displaystyle f nbsp 的核 我們定義f displaystyle hat f nbsp 為f x H f x displaystyle widehat f xH f x nbsp 函數f displaystyle widehat f nbsp 定義良好 即f x H displaystyle widehat f xH nbsp 只依賴於x H displaystyle xH nbsp 而與代表x displaystyle x nbsp 的選擇無關 理由是 若y G displaystyle y in G nbsp 是x H displaystyle xH nbsp 的一個代表 即若x H y H displaystyle xH yH nbsp 則x y 1 H Ker f displaystyle xy 1 in H operatorname Ker f nbsp 所以f x f y displaystyle f x f y nbsp 從而f x H f y H displaystyle widehat f xH widehat f yH nbsp 由商群運算的定義 f displaystyle widehat f nbsp 是一個群同態 群同態f displaystyle widehat f nbsp 滿射 對於所有y f G displaystyle y in f G nbsp 存在x G displaystyle x in G nbsp 使得f x y displaystyle f x y nbsp 由此f x H f x y displaystyle widehat f xH f x y nbsp 群同態f displaystyle widehat f nbsp 單射 理由是 考慮f displaystyle widehat f nbsp 的核裡的任意元素x H displaystyle xH nbsp 則e f x H f x displaystyle e widehat f xH f x nbsp 即x displaystyle x nbsp 在f displaystyle f nbsp 的核H displaystyle H nbsp 裡面 又x H H displaystyle xH H nbsp 是G H displaystyle G H nbsp 的單位元 這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合 以下為示意圖 nbsp 交換圖群同構第二定理 编辑 群同構第二定理 給定群 G displaystyle G nbsp 其正規子群 N displaystyle N nbsp 其子群 H displaystyle H nbsp 則 N H displaystyle N cap H nbsp 是 H displaystyle H nbsp 的正規子群 且我們有群同構如下 H H N H N N displaystyle H H cap N simeq HN N nbsp 證明 必須先證明H N displaystyle HN nbsp 确实是一个群 以及N displaystyle N nbsp 限定在H N displaystyle HN nbsp 中亦是一個正規子群 才能討論商群 H N N displaystyle HN N nbsp 設 h n displaystyle hn nbsp 和 h n displaystyle h n nbsp 為 H N displaystyle HN nbsp 中的兩個元素 我們有 h n h n h h h 1 n h n displaystyle hnh n hh h 1 nh n nbsp 其中 h h H displaystyle hh in H nbsp h 1 n h N displaystyle h 1 nh in N nbsp 因為 N displaystyle N nbsp 在 G displaystyle G nbsp 中正規 且 n N displaystyle n in N nbsp 故 h n h n displaystyle hnh n nbsp 在 H N displaystyle HN nbsp 中 其證明了 H N displaystyle HN nbsp 在乘法下封閉 不難證明他不是空集合 以及反元素的封閉性 此外 我們有 N H N G displaystyle N subset HN subset G nbsp 的包含關係 並且 N displaystyle N nbsp 在 G displaystyle G nbsp 中正規 所以也在 H N displaystyle HN nbsp 中正規 為了建構群同構 我們將使用群同構第一定理 取 j H H N displaystyle j H hookrightarrow HN nbsp 單射群同態 定義為 j h h displaystyle j h h nbsp 取標準滿射 s H N H N N displaystyle sigma HN twoheadrightarrow HN N nbsp 值域是個群 因為 N displaystyle N nbsp 在 G displaystyle G nbsp 中正規 藉由複合兩個群同態 我們建構出一個新的群同態 f s j H H N N displaystyle f sigma circ j H to HN N nbsp 定義為 f h h N displaystyle f h hN nbsp 群同態 f displaystyle f nbsp 是滿射 理由是 設 h n N H N N displaystyle hn N in HN N nbsp 其中 h H displaystyle h in H nbsp 且 n N displaystyle n in N nbsp 由於 n displaystyle n nbsp 在 N displaystyle N nbsp 裡面 h n N h N displaystyle hnN hN nbsp 故h n N f h displaystyle hnN f h nbsp f displaystyle f nbsp 的核是 H N displaystyle H cap N nbsp 理由是 f h h N displaystyle f h hN nbsp 是 H N N displaystyle HN N nbsp 的單位元 即 N displaystyle N nbsp 若且唯若 h displaystyle h nbsp 在 N displaystyle N nbsp 裡面 由於 h displaystyle h nbsp 已經在 H displaystyle H nbsp 裡面 所以證明這個相當於證明 h displaystyle h nbsp 在 N H displaystyle N cap H nbsp 裡面 由群同構第一定理知 N H displaystyle N cap H nbsp 是 H displaystyle H nbsp 的正規子群 且其誘導出的映射 f H N H H N N displaystyle widehat f H N cap H to HN N nbsp 是群同構 如果我們弱化前提 假設 N displaystyle N nbsp 的正規化子包含 H displaystyle H nbsp 把相等改成包含 這個定理依然正確 群同構第三定理 编辑 群同構第三定理 給定群 G displaystyle G nbsp N displaystyle N nbsp 和 M displaystyle M nbsp 為 G displaystyle G nbsp 的正規子群 滿足 M displaystyle M nbsp 包含於 N displaystyle N nbsp 則 N M displaystyle N M nbsp 是 G M displaystyle G M nbsp 的正規子群 且有如下的群同構 G M N M G N displaystyle G M N M simeq G N nbsp 證明 G M G N g M g M N g M N g N displaystyle G M to G N gM mapsto gM N g MN gN nbsp 為滿射 其核為 N M displaystyle N M nbsp 所以可由群同構第一定理得到 G M N M G N displaystyle G M N M simeq G N nbsp 环和模上的形式 编辑将定理中的 群 换为 R 模 将 正规子群 换为 子模 就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理 因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立 对于向量空间 同构第一基本定理即是秩 零化度定理 将定理中的 群 换为 环 子群 换为 子环 正规子群 换为 理想 商群 换为 商环 就得到环的同构基本定理 与子群的乘积HK相对应的定义是子模 子环 子空间的并 用H K而不再用HK表示 具体的定义是 H K a b a H b K displaystyle H K left a b a in H b in K right nbsp 推广 编辑在泛代数中 正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念 设A是一个代数结构 A的一个同余类是A上的一个等价关系F displaystyle Phi nbsp 可看作是A A上的子代数 等价类A F displaystyle Phi nbsp 的集合在定义了适合的运算法则后 便可成为与A同类型的代数结构 第一同构定理 编辑 设A和B是两个代数结构 f是A到B的态射 则A等价关系F displaystyle Phi nbsp a b当且仅当f a f b 是A上的一个同余类 并且A F displaystyle Phi nbsp 同构于f的像 B的子代数 第二同构定理 编辑 设B是A的子代数 F displaystyle Phi nbsp 是A上的同余类 令 B F displaystyle Phi nbsp 是所有包含B种元素的同余类的集合 它是A F displaystyle Phi nbsp 的一个子集 F B displaystyle Phi B nbsp 是F displaystyle Phi nbsp 限制在 B B上的部分 那么 B F displaystyle Phi nbsp 是A F displaystyle Phi nbsp 的子代数结构 F B displaystyle Phi B nbsp 是B上的同余类 并且 B F displaystyle Phi nbsp 同构于B F B displaystyle Phi B nbsp 第三同构定理 编辑 设A是一个代数结构 F displaystyle Phi nbsp 和PS displaystyle Psi nbsp 是A上的两个同余关系 PS displaystyle Psi nbsp 包含于F displaystyle Phi nbsp 则F displaystyle Phi nbsp 定义了A PS displaystyle Psi nbsp 上的一个同余类8 displaystyle Theta nbsp a b 当且仅当a与b关于 F displaystyle Phi nbsp 同余 a 表示a所在的PS displaystyle Psi nbsp 等价类 并且A F displaystyle Phi nbsp 同构于 A PS displaystyle Psi nbsp 8 displaystyle Theta nbsp 取自 https zh wikipedia org w index php title 同构基本定理 amp oldid 76177749, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,