同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。
同构基本定理, 此條目没有列出任何参考或来源, 2012年2月28日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 或称同态基本定理, 同型定理, 英語, isomorphism, theorems, 包含三个定理, 在泛代数领域有广泛的应用, 它们证明了一些自然同构的存在性, 目录, 历史, 群同态基本定理, 群同構基本定理, 群同構第一定理, 群同構第二定理, 群同構第三定理, 环和模上的形式, 推广, 第一同构定理, 第二同构定理, 第三同. 此條目没有列出任何参考或来源 2012年2月28日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 同构基本定理 或称同态基本定理 同型定理 英語 Isomorphism theorems 包含三个定理 在泛代数领域有广泛的应用 它们证明了一些自然同构的存在性 目录 1 历史 2 群同态基本定理 3 群同構基本定理 3 1 群同構第一定理 3 2 群同構第二定理 3 3 群同構第三定理 4 环和模上的形式 5 推广 5 1 第一同构定理 5 2 第二同构定理 5 3 第三同构定理历史 编辑同构基本定理最早由埃米 诺特 Emmy Noether 在她于1927在德国数学期刊数学分析 Mathematische Annalen 发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkorpern中明确阐述 群同态基本定理 编辑我们首先叙述群论中的同态基本定理 他们的形式相对简单 却表达了商群的重要性质 定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念 群同構基本定理 编辑群同構第一定理 编辑 給定一個群同態 f G G displaystyle f G to G 根據群同態第一基本定理 我們可以把G displaystyle G 除以G displaystyle G 的核 使f displaystyle f 變成單射 直觀來講 把一個群G displaystyle G 除以G displaystyle G 的子群H displaystyle H 相當於把H displaystyle H 裡的元素看成0 一元素 把f displaystyle f 的核除掉後 我們使得f x 0 displaystyle f x 0 只在 x 0 displaystyle x 0 時才會成立 這是f displaystyle f 的單射性的等價敘述 我們必須先確定商群具有群的結構 才可以對G Ker f G displaystyle G operatorname Ker f to G 進行討論 定理 給定G displaystyle G 和G displaystyle G 兩個群 和f G G displaystyle f G rightarrow G 群同態 則Ker f displaystyle operatorname Ker f 是一個G displaystyle G 的正規子群 證明 記 displaystyle cdot 為G displaystyle G 和G displaystyle G 的運算符號 記e displaystyle e 和e displaystyle e 他們的單位元 我們可以驗證Ker f displaystyle operatorname Ker f 在共軛運算下封閉 即對於所有x G displaystyle x in G 所有h Ker f displaystyle h in operatorname Ker f 有x h x 1 Ker f displaystyle x cdot h cdot x 1 in operatorname Ker f 我們有f x h x 1 f x f h f x 1 displaystyle f x cdot h cdot x 1 f x cdot f h cdot f x 1 由於h displaystyle h 在Ker f displaystyle operatorname Ker f 裡面 即f h e displaystyle f h e 我們推論f x h x 1 f x f x 1 f x x 1 f e e displaystyle f x cdot h cdot x 1 f x cdot f x 1 f x cdot x 1 f e e 因此 x h x 1 displaystyle x cdot h cdot x 1 在Ker f displaystyle operatorname Ker f 裡面 故Ker f displaystyle operatorname Ker f 是G displaystyle G 的正規子群 Ker f displaystyle operatorname Ker f 是G displaystyle G 的正規子群的這個性質讓我們可以在商群G Ker f displaystyle G operatorname Ker f 上定義一個與G displaystyle G 的運算規則相容的運算規則 因為相容性的緣故 群同態f G G displaystyle f G rightarrow G 誘導出群同構f G Ker f Im f displaystyle widehat f G operatorname Ker f rightarrow operatorname Im f 我們有以下的定理 群同構第一定理 給定G displaystyle G 和G displaystyle G 兩個群 f G G displaystyle f G rightarrow G 群同態 則f displaystyle f 誘導出一個從G Ker f displaystyle G operatorname Ker f 打到f G displaystyle f G 的群同構 證明 記H displaystyle H 為f displaystyle f 的核 我們定義f displaystyle hat f 為f x H f x displaystyle widehat f xH f x 函數f displaystyle widehat f 定義良好 即f x H displaystyle widehat f xH 只依賴於x H displaystyle xH 而與代表x displaystyle x 的選擇無關 理由是 若y G displaystyle y in G 是x H displaystyle xH 的一個代表 即若x H y H displaystyle xH yH 則x y 1 H Ker f displaystyle xy 1 in H operatorname Ker f 所以f x f y displaystyle f x f y 從而f x H f y H displaystyle widehat f xH widehat f yH 由商群運算的定義 f displaystyle widehat f 是一個群同態 群同態f displaystyle widehat f 滿射 對於所有y f G displaystyle y in f G 存在x G displaystyle x in G 使得f x y displaystyle f x y 由此f x H f x y displaystyle widehat f xH f x y 群同態f displaystyle widehat f 單射 理由是 考慮f displaystyle widehat f 的核裡的任意元素x H displaystyle xH 則e f x H f x displaystyle e widehat f xH f x 即x displaystyle x 在f displaystyle f 的核H displaystyle H 裡面 又x H H displaystyle xH H 是G H displaystyle G H 的單位元 這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合 以下為示意圖 交換圖 群同構第二定理 编辑 群同構第二定理 給定群 G displaystyle G 其正規子群 N displaystyle N 其子群 H displaystyle H 則 N H displaystyle N cap H 是 H displaystyle H 的正規子群 且我們有群同構如下 H H N H N N displaystyle H H cap N simeq HN N 證明 必須先證明H N displaystyle HN 确实是一个群 以及N displaystyle N 限定在H N displaystyle HN 中亦是一個正規子群 才能討論商群 H N N displaystyle HN N 設 h n displaystyle hn 和 h n displaystyle h n 為 H N displaystyle HN 中的兩個元素 我們有 h n h n h h h 1 n h n displaystyle hnh n hh h 1 nh n 其中 h h H displaystyle hh in H h 1 n h N displaystyle h 1 nh in N 因為 N displaystyle N 在 G displaystyle G 中正規 且 n N displaystyle n in N 故 h n h n displaystyle hnh n 在 H N displaystyle HN 中 其證明了 H N displaystyle HN 在乘法下封閉 不難證明他不是空集合 以及反元素的封閉性 此外 我們有 N H N G displaystyle N subset HN subset G 的包含關係 並且 N displaystyle N 在 G displaystyle G 中正規 所以也在 H N displaystyle HN 中正規 為了建構群同構 我們將使用群同構第一定理 取 j H H N displaystyle j H hookrightarrow HN 單射群同態 定義為 j h h displaystyle j h h 取標準滿射 s H N H N N displaystyle sigma HN twoheadrightarrow HN N 值域是個群 因為 N displaystyle N 在 G displaystyle G 中正規 藉由複合兩個群同態 我們建構出一個新的群同態 f s j H H N N displaystyle f sigma circ j H to HN N 定義為 f h h N displaystyle f h hN 群同態 f displaystyle f 是滿射 理由是 設 h n N H N N displaystyle hn N in HN N 其中 h H displaystyle h in H 且 n N displaystyle n in N 由於 n displaystyle n 在 N displaystyle N 裡面 h n N h N displaystyle hnN hN 故h n N f h displaystyle hnN f h f displaystyle f 的核是 H N displaystyle H cap N 理由是 f h h N displaystyle f h hN 是 H N N displaystyle HN N 的單位元 即 N displaystyle N 若且唯若 h displaystyle h 在 N displaystyle N 裡面 由於 h displaystyle h 已經在 H displaystyle H 裡面 所以證明這個相當於證明 h displaystyle h 在 N H displaystyle N cap H 裡面 由群同構第一定理知 N H displaystyle N cap H 是 H displaystyle H 的正規子群 且其誘導出的映射 f H N H H N N displaystyle widehat f H N cap H to HN N 是群同構 如果我們弱化前提 假設 N displaystyle N 的正規化子包含 H displaystyle H 把相等改成包含 這個定理依然正確 群同構第三定理 编辑 群同構第三定理 給定群 G displaystyle G N displaystyle N 和 M displaystyle M 為 G displaystyle G 的正規子群 滿足 M displaystyle M 包含於 N displaystyle N 則 N M displaystyle N M 是 G M displaystyle G M 的正規子群 且有如下的群同構 G M N M G N displaystyle G M N M simeq G N 證明 G M G N g M g M N g M N g N displaystyle G M to G N gM mapsto gM N g MN gN 為滿射 其核為 N M displaystyle N M 所以可由群同構第一定理得到 G M N M G N displaystyle G M N M simeq G N 环和模上的形式 编辑将定理中的 群 换为 R 模 将 正规子群 换为 子模 就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理 因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立 对于向量空间 同构第一基本定理即是秩 零化度定理 将定理中的 群 换为 环 子群 换为 子环 正规子群 换为 理想 商群 换为 商环 就得到环的同构基本定理 与子群的乘积HK相对应的定义是子模 子环 子空间的并 用H K而不再用HK表示 具体的定义是 H K a b a H b K displaystyle H K left a b a in H b in K right 推广 编辑在泛代数中 正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念 设A是一个代数结构 A的一个同余类是A上的一个等价关系F displaystyle Phi 可看作是A A上的子代数 等价类A F displaystyle Phi 的集合在定义了适合的运算法则后 便可成为与A同类型的代数结构 第一同构定理 编辑 设A和B是两个代数结构 f是A到B的态射 则A等价关系F displaystyle Phi a b当且仅当f a f b 是A上的一个同余类 并且A F displaystyle Phi 同构于f的像 B的子代数 第二同构定理 编辑 设B是A的子代数 F displaystyle Phi 是A上的同余类 令 B F displaystyle Phi 是所有包含B种元素的同余类的集合 它是A F displaystyle Phi 的一个子集 F B displaystyle Phi B 是F displaystyle Phi 限制在 B B上的部分 那么 B F displaystyle Phi 是A F displaystyle Phi 的子代数结构 F B displaystyle Phi B 是B上的同余类 并且 B F displaystyle Phi 同构于B F B displaystyle Phi B 第三同构定理 编辑 设A是一个代数结构 F displaystyle Phi 和PS displaystyle Psi 是A上的两个同余关系 PS displaystyle Psi 包含于F displaystyle Phi 则F displaystyle Phi 定义了A PS displaystyle Psi 上的一个同余类8 displaystyle Theta a b 当且仅当a与b关于 F displaystyle Phi 同余 a 表示a所在的PS displaystyle Psi 等价类 并且A F displaystyle Phi 同构于 A PS displaystyle Psi 8 displaystyle Theta 取自 https zh wikipedia org w index php title 同构基本定理 amp oldid 73017323, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,