反伽瑪函數

反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。換句話說，如果反Γ函數以${\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}$的形式表示，則其滿足${\textstyle \Gamma (y)=x}$。例如24的反伽瑪函數值為5，${\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}$，因為5代到伽瑪函數為24^[1]。一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間${\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}$上且圖形在實數區間${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$上的主分支，其中${\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }$^[2]是伽瑪函數在正實軸上的最小值、${\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }$^[3]是能使${\displaystyle \Gamma (x)}$最小的${\displaystyle x}$值^[4]。反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。

反伽瑪函數 ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$ 的函數圖形

反伽瑪函數 ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$ 的色相環複變函數圖形

限制在${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$。在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$。

直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數

定義

由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

${\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}$ 

更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：^[5]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}$ 

其中${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }$ 、a和b為滿足${\displaystyle b\geqq 0}$ 的實數、${\displaystyle \mu (t)}$ 為博雷尔测度。

近似值

 

不同分支的反伽瑪函數

反伽瑪函數的分支可以透過先計算${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$ 在分支點${\displaystyle \alpha }$ 附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似^[6]；

${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$ 

反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：^[7]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}$ 

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$ 是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。

級數展開

要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$ 在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$ 可以得到第${\displaystyle n}$ 個分支的反伽瑪函數${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$ ，其中${\displaystyle n\geq 0}$ 。^[8]

${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}$ 

其中，${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$ 是多伽玛函数。

反階乘

 

反階乘的複變函數圖形

反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial^-1或ArcFactorial^[9]，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到^[10]。例如120的反階乘為5，因為${\displaystyle 5!=120}$ 。目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。^{[註 1]}

部分的反階乘

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$ 的反階乘
-1	2.39393017729 + 2.66169895945${\displaystyle i}$
0	不存在
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.28307261544 + 1.09787390370${\displaystyle i}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	1
2	2
3	2.4058699863
4	2.6640327972
5	2.8523554580
6	3
24	4

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}$ 

這是由於：

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$ 

反階乘可以定義為：

${\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}$ 

條件是${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}$ 在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到${\displaystyle -\infty }$ 。

在分支點${\displaystyle z=\mu _{0}}$ 附近的反階乘可以展開為；

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}$ 

參見

• 倒數伽瑪函數

註釋

1. 數篇相關論文用了不同的表達方式，尚未找到一個統一的表達方式。另有網友在reddit上討論反階乘應該用甚麼符號表達 What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? OR x!^(-1). reddit. 

參考文獻

1. Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320. S2CID 119324101. arXiv:1703.05349  . doi:10.1080/00029890.2018.1420983. 
2.   A030171
3.   A030169
4. Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function. Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023]. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2  . 
5. Pedersen, Henrik. "Inverses of gamma functions". Constructive Approximation. 9 September 2013, 7 (2): 251–267. S2CID 253898042. arXiv:1309.2167  . doi:10.1007/s00365-014-9239-1. 
6. Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. 
7. Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018. 
8. Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation. Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8. 
9. Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65: 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029. 
10. InverseFactorial. resources.wolframcloud.com.