原群

原群（英語：Magma）是抽象代數领域中一種基本代數結構。原群定义为一個集合和这个集合上满足封閉性的一个二元運算，即：对于集合${\displaystyle M}$和${\displaystyle M}$上的一个二元运算${\displaystyle \bullet }$，若满足${\displaystyle M}$中的任意两个元素经过${\displaystyle \bullet }$作用，得到的结果仍在${\displaystyle M}$中，则称它们构成一个原群，记作${\displaystyle (M,\bullet )}$。

類型

類似群的結構
	完全性	結合律	單位元	除法
群	是	是	是	是
幺半群	是	是	是	否
半群	是	是	否	否
環群	是	否	是	是
擬群	是	否	否	是
原群	是	否	否	否
廣群	否	是	是	是
範疇	否	是	是	否

通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括：

• 擬群－可除總是可能的非空原群；
• 環群－有單位元的擬群；
• 半群－運算為可結合的原群；
• 幺半群－有單位元的半群；
• 群－有逆元的幺半群，或等價地說，可結合的環群；
• 阿貝爾群－運算為可交換的群。

 

從原群到群有兩條不同的路。注意：可除性和可逆性兩者意指著消去性的存在。

原群的態射

原群的態射是一個函數 ${\displaystyle f:M\to N}$  ，將原群 M 映射至原群 N 上，並保留其二元運算：

${\displaystyle f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}$ 

其中的 ${\displaystyle *_{M}}$  和 ${\displaystyle *_{N}}$  分別代表著在 M 和 N 上的二元運算。

自由原群

在一集合 X 上的自由原群 ${\displaystyle M_{X}}$  是指由集合 X 產生出的「最一般可能的」自由原群（並沒有任何的關係或公理在產生子上；詳見自由對象）。自由原群可以用計算機科學中熟悉的詞彙來描述，如同其樹葉被 X 內的元素標示的二元樹的原群，其運算是將樹在樹根上連結。因此，自由原群在句法學中有著很基本的重要性。

自由原群有個泛性質，其內容為：若 ${\displaystyle f:X\to N}$  是一個從集合 X 映射至任一原群 N 的函數，則會存在唯一一個 ${\displaystyle f}$  至原群態射 ${\displaystyle f^{\prime }}$  的擴張。其中，

${\displaystyle f^{\prime }:M_{X}\to N}$ 

另見

• 自由半群
• 自由群
• 自由李群

參考文獻

• M. Hazewinkel, Magma, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• M. Hazewinkel, Free magma, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Groupoid. MathWorld.