A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN1-58488-299-9。
八月 10, 2023
分離變數法, 數學上, 是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法, 使用這方法, 可以藉代數來將方程式重新編排, 讓方程式的一部分只含有一個變數, 而剩餘部分則跟此變數無關, 這樣, 隔離出的兩個部分的值, 都分別等於常數, 而兩個部分的值的代數和等於零, 目录, 常微分方程, 第二種方法, 實例, 實例, 偏微分方程, 實例, 實例, 參閱, 參考文獻常微分方程, 编辑主条目, 可分离变量的微分方程, 假若, 一個常微分方程可以寫為, displaystyle, frac, 設定變數, displaystyle, . 數學上 分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法 使用這方法 可以藉代數來將方程式重新編排 讓方程式的一部分只含有一個變數 而剩餘部分則跟此變數無關 這樣 隔離出的兩個部分的值 都分別等於常數 而兩個部分的值的代數和等於零 目录 1 常微分方程 1 1 第二種方法 1 2 實例 I 1 3 實例 II 2 偏微分方程 2 1 實例 III 2 2 實例 IV 3 參閱 4 參考文獻常微分方程 编辑主条目 可分离变量的微分方程 假若 一個常微分方程可以寫為 d d x f x g x h f x displaystyle frac d dx f x g x h f x 設定變數 y f x displaystyle y f x 那麼 d y d x g x h y displaystyle frac dy dx g x h y 1 只要是 h y 0 displaystyle h y neq 0 就可以將方程式兩邊都除以 h y displaystyle h y 再都乘以 d x displaystyle dx d y h y g x d x displaystyle dy over h y g x dx 這樣 可以將兩個變數 x displaystyle x y displaystyle y 分離到方程式的兩邊 由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關 表達式恆等於常數 k displaystyle k 因此 可以得到兩個較易解的常微分方程 d y h y g x d x k displaystyle int dy over h y int g x dx k 第二種方法 编辑 有些不喜歡用萊布尼茨標記 英语 Leibniz s notation 的數學家 或許會選擇將公式 1 寫為 1 h y d y d x g x displaystyle frac 1 h y frac dy dx g x 這寫法有一個問題 無法比較明顯的解釋 為什麼這方法叫作分離變數法 隨著 x displaystyle x 積分公式的兩邊 可以得到 1 h y d y d x d x g x d x displaystyle int frac 1 h y frac dy dx dx int g x dx 2 應用换元积分法 1 h y d y g x d x displaystyle int frac 1 h y dy int g x dx 假如 可以求算這兩個積分 則這常微分方程有解 這方法允許將導數 d y d x displaystyle frac dy dx 當做可分的分式看待 可以較方便的解析可分的常微分方程 這在實例 II 的解析裏會有更詳細的解釋 實例 I 编辑 常微分方程式 d d x f x f x 1 f x displaystyle frac d dx f x f x 1 f x 可以寫為 d y d x y 1 y displaystyle frac dy dx y 1 y 3 其中 y f x displaystyle y f x 設定 g x 1 displaystyle g x 1 h y y 1 y displaystyle h y y 1 y 套用公式 1 這常微分方程式是可分的 進一步編排 則 d y y 1 y d x displaystyle frac dy y 1 y dx 變數 x displaystyle x y displaystyle y 分別在公式的兩邊 將兩邊積分 d y y 1 y d x displaystyle int frac dy y 1 y int dx 積分的結果是 ln y ln 1 y x C displaystyle ln y ln 1 y x C 其中 C displaystyle C 是個積分常數 稍加運算 則可得 y 1 1 B e x displaystyle y frac 1 1 Be x 在這裏 檢查此解答的正確與否 計算導數 d y d x displaystyle frac dy dx 答案應該與原本的問題相同 必須仔細地計算絕對值 絕對符號內不同的正負值 分別地造成了 B displaystyle B 的正值與負值 而當 y 1 displaystyle y 1 時 B 0 displaystyle B 0 特別注意 由於將公式 3 的兩邊除以 y displaystyle y 跟 1 y displaystyle 1 y 必須檢查兩個函數 y x 0 displaystyle y x 0 與 y x 1 displaystyle y x 1 是否也是常微分方程式的解答 在這個例子裏 它們都是解答 參閱奇異解 英语 singular solution 實例 II 编辑 人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達 d P d t k P 1 P K displaystyle frac dP dt kP left 1 frac P K right 其中 P displaystyle P 是人口數值函數 t displaystyle t 是時間參數 k displaystyle k 是成長的速率 K displaystyle K 環境的容納能力 將方程式的兩邊都除以P 1 P K displaystyle P left 1 frac P K right 再隨著時間 t displaystyle t 積分 1 P 1 P K d p d t d t k d t displaystyle int frac 1 P left 1 frac P K right frac dp dt dt int k dt 應用换元积分法 d P P 1 P K k d t displaystyle int frac dP P left 1 frac P K right int k dt 稍微運算 則可得 P t K 1 A e k t displaystyle P t frac K 1 Ae kt 其中 A displaystyle A 是常數 偏微分方程 编辑主条目 可分離變數的偏微分方程 給予一個 n displaystyle n 元函數 F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 dots x n 的偏微分方程 有時候 為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程 可以猜想一個解答 解答的形式為 F F 1 x 1 F 2 x 2 F n x n displaystyle F F 1 x 1 F 2 x 2 cdots F n x n 或者 F f 1 x 1 f 2 x 2 f n x n displaystyle F f 1 x 1 f 2 x 2 cdots f n x n 時常 對於每一個自變量 x i displaystyle x i 都會伴隨著一個分離常數 如果 這個方法成功 則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 separable partial differential equation 實例 III 编辑 假若 函數 F x y z displaystyle F x y z 的偏微分方程為 F x F y F z 0 displaystyle frac partial F partial x frac partial F partial y frac partial F partial z 0 猜想解答為 F x y z X x Y y Z z displaystyle F x y z X x Y y Z z 那麼 d X d x d Y d y d Z d z 0 displaystyle frac dX dx frac dY dy frac dZ dz 0 因為 X x displaystyle X x 只含有 x displaystyle x Y y displaystyle Y y 只含有 y displaystyle y Z z displaystyle Z z 只含有 z displaystyle z 這三個函數的導數都分別必須等於常數 更明確地說 將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程 d X d x c 1 displaystyle frac dX dx c 1 d Y d y c 2 displaystyle frac dY dy c 2 d Z d z c 3 displaystyle frac dZ dz c 3 其中 c 1 c 2 c 3 displaystyle c 1 c 2 c 3 都是常數 c 1 c 2 c 3 0 displaystyle c 1 c 2 c 3 0 偏微分方程的答案為 F x y z c 1 x c 2 y c 3 z c 4 displaystyle F x y z c 1 x c 2 y c 3 z c 4 其中 c 4 displaystyle c 4 是常數 實例 IV 编辑 思考一個典型的偏微分方程 2 v l v 2 v x 2 2 v y 2 l v 0 displaystyle nabla 2 v lambda v partial 2 v over partial x 2 partial 2 v over partial y 2 lambda v 0 首先 猜想答案的形式為 v X x Y y displaystyle v X x Y y 代入偏微分方程 2 x 2 X x Y y 2 y 2 X x Y y l X x Y y 0 displaystyle partial 2 over partial x 2 X x Y y partial 2 over partial y 2 X x Y y lambda X x Y y 0 或者 用單撇號標記 X x Y y X x Y y l X x Y y 0 displaystyle X x Y y X x Y y lambda X x Y y 0 將方程式的兩邊除以 X x Y y displaystyle X x Y y 則可得 X x X x Y y l Y y Y y displaystyle X x over X x Y y lambda Y y over Y y 由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關 表達式恆等於常數 k displaystyle k X x X x k Y y l Y y Y y displaystyle X x over X x k Y y lambda Y y over Y y 因此 可以得到兩個新的常微分方程式 X x k X x 0 displaystyle X x kX x 0 Y y l k Y y 0 displaystyle Y y lambda k Y y 0 這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程 假若 k lt 0 lt l k displaystyle k lt 0 lt lambda k 則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式 解答為 X x A x cos k x B x displaystyle X x A x cos sqrt k x B x Y y A y cos l k y B y displaystyle Y y A y cos sqrt lambda k y B y 其中 A x A y displaystyle A x A y 是振幅常數 B x B y displaystyle B x B y 是相位常數 這些常數可以由邊界條件求得 參閱 编辑拉普拉斯 龍格 冷次向量 哈密頓 雅可比方程 亥姆霍茲方程參考文獻 编辑A D Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2002 ISBN 1 58488 299 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 分離變數法 amp oldid 66169917, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,