可分離變數的偏微分方程

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可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 ${\displaystyle n}$ 元函數 ${\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}$ 的偏微分方程，猜想解答的形式為

${\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}$ 。

這是一種特別的分離變數法，稱為${\displaystyle R}$-分離變數法，此方式是將解寫成和座標有關的固定函數，以及以各座標為自變數函數的乘積。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$上的拉普拉斯方程是一個可以用${\displaystyle R}$-分離變數法求解的偏微分方程的例子，在三維空間下會用六維球面座標轉換（英语：6-sphere coordinates）來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同，後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。

範例

例如，考慮非時變的薛丁格方程

${\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}$ 

針對函數${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ （為簡化問題，其為無因次量）（等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍兹方程）。若三維函數${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ 形式如下

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}$ 

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程，函數分別是${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$ 、${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$ 及${\displaystyle \psi _{3}(x_{3})}$ ，最後的解可以寫成${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})}$ 。（薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列舉^[1]）。

參考資料

1. L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).