可分离变量的微分方程

主条目：分離變數法

${\displaystyle }$可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)}$的方程.

等价定义

可化为${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 的方程，称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)

分离变量法：

对${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)}$ ，若${\displaystyle \varphi (y)\neq 0}$ 则 ${\displaystyle {\frac {dy}{\varphi (y)}}=f(x)dx}$ ，两边取不定积分，得 ${\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}=\int f(x)dx\,+c}$ ，这里${\displaystyle \int {\frac {dy}{\varphi (y)}}}$ 和${\displaystyle \int f(x)dx\,}$ 理解为某个确定的原函数，${\displaystyle c}$ 为任意常数.

对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 也是一样的解法.

初值问题（求特解）

1.不定积分法

以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 为例，若给初始条件${\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}}$ ,则对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 两边取不定积分，得

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+c}$ ,将初始条件代入,求得

${\displaystyle c=c_{0}}$ ,再代回原方程即得所要求的特解${\displaystyle F(x,y)}$ .

2.变上限积分法

仍以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 为例，若给初始条件${\displaystyle y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}}$ ,对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$ 两边取不定积分，得

${\displaystyle G(y)=F(x)+c}$ ,其中${\displaystyle G(y),F(x)}$ 分别为${\displaystyle g(y),f(x)}$ 的一个原函数，代入初始条件，有

${\displaystyle G(y_{0})=F(x_{0})+c\Rightarrow c=G(y_{0})-F(x_{0})}$ ,代回原方程得特解为${\displaystyle G(y)=F(x)+G(y_{0})-F(x_{0})}$ ,即

${\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})}$ ,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(u)du=\int _{x_{0}}^{x}f(v)dv}$ ,在不混淆的时候，可写为

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx}$ .

所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.

若又给条件${\displaystyle y\mid _{x=x_{1}}=y_{1}}$ ,将此条件代入${\displaystyle G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})}$ ,得

${\displaystyle G(y_{1})-G(y_{0})=F(x_{1})-F(x_{0})}$ ,即

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y_{1}}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx}$ .

参考资料

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系