代數擴張, 代数扩张, 英語, algebraic, extension, 是抽象代數中域扩张的一类, 一個域擴張l, 被稱作, 若且唯若l, 中的每个元素都是某个以k, 中元素为系数的非零多項式的根, 反之則稱之为超越擴張, 最簡單的例子有, displaystyle, mathbb, mathbb, displaystyle, mathbb, sqrt, mathbb, 目录, 定义, 次數, 與多項式的根, 正規擴張, 例子, 可分擴張, 参考文献, 外部链接定义, 编辑代数扩张的基础是代数元的概念, 给定域. 代数扩张 英語 Algebraic extension 是抽象代數中域扩张的一类 一個域擴張L K 被稱作代數擴張 若且唯若L 中的每个元素都是某个以K 中元素为系数的非零多項式的根 反之則稱之为超越擴張 最簡單的代數擴張例子有 C R displaystyle mathbb C mathbb R Q 2 Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 mathbb Q 目录 1 定义 2 次數 3 代數擴張與多項式的根 4 正規擴張 4 1 例子 5 可分擴張 6 参考文献 7 外部链接定义 编辑代数扩张的基础是代数元的概念 给定域扩张L K L 某个元素如果是一个以K 中元素为系数的非零多項式的根 则称其为K 上的代数元 如果L 中所有元素都是K 上的代数元 就称域扩张L K 为代数扩张 次數 编辑設有域擴張L K L 可以看作是K 上的向量空間 将其維度稱作這個擴張的次數 记作 L K 有限次數的擴張 簡稱有限擴張 都是代數擴張 反之 給定一個代數擴張L K 則L 裡的任一元素a 生成的子擴張K a K 都是K 的有限擴張 但代数扩张本身并不一定是有限扩张 一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限 代數擴張與多項式的根 编辑在一個代數擴張L K 中 L 中的每個元素a 都是某個以K 中元素为系数的多項式 以下简称K 多项式 所有K 多项式的集合记作K X f 的根 所有以a 为根的K 多項式中次數最低者稱作a 的极小多項式 通常要求其为首一多项式 即最高次项係數等於一 以保證唯一性 极小多項式總是不可约多項式 若K 多项式f 不可約 則商環L K X f 是K 的一個域擴張 它的次数 L K deg f 而且不定元X 在商环中的像是在f 的一個在L 中的根 其极小多項式正是f 通過這種構造 我們可抽象地加入某個多項式的根 例如R X X 2 1 displaystyle mathbb R X X 2 1 nbsp 就是在实数域中添加了虚数单位i 得到的扩域 複數域C displaystyle mathbb C nbsp 给定域扩张L K 如果K 多项式f 可以在L 中分解成一次因子的積 則稱f 在L 中分裂 根據上述構造 總是可以找到一個足夠大的代數擴張K K 使得f 分裂 K 裡滿足此性質的 最小 子擴張稱作f 在K 上的分裂域 f 在K 上的任兩個分裂域至多差一個K 上的同構 即 一個限制在K 上的部分為恆等映射的環同構 正規擴張 编辑主条目 正规扩张 正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念 一個代數擴張L K 被稱作正規擴張 若且唯若它滿足下述三個等價條件之一 固定代數閉包Kalg 任何K 上的 即在K 上是恆等映射的 域嵌入s L Kalg 都有s L L 存在一族在L 上分裂的多項式 f i i I K X displaystyle f i i in I subset K X nbsp 使得L K 是在K 中添加它們的根生成的域扩张 K X 中任何不可約多項式若在L 裡有根 則在L 裡分裂 全部的根都在L 里面 正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画 一个正规扩张对应着K X 里的一个多项式 例子 编辑 x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp 在R displaystyle mathbb R nbsp 上的分裂域是C displaystyle mathbb C nbsp x 3 2 displaystyle x 3 2 nbsp 在Q displaystyle mathbb Q nbsp 上的分裂域是Q e 2 3 p i 2 3 displaystyle mathbb Q e frac 2 3 pi rm i sqrt 3 2 nbsp x 2 2 x 2 3 displaystyle x 2 2 x 2 3 nbsp 在Q displaystyle mathbb Q nbsp 上的分裂域是Q 2 3 Q 2 3 displaystyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp Q 2 Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 mathbb Q nbsp 是正規域擴張 Q 2 3 Q displaystyle mathbb Q sqrt 3 2 mathbb Q nbsp 卻不是 因為後者並沒有包括x 3 2 displaystyle x 3 2 nbsp 的所有根 欠了2 3 e 2 3 p i 2 3 e 2 3 p i displaystyle sqrt 3 2 e frac 2 3 pi rm i sqrt 3 2 e frac 2 3 pi rm i nbsp 可分擴張 编辑主条目 可分扩张 設L K 為代數擴張 如果a 的极小多項式沒有重根 則稱a 可分 重根的存在性與域擴張的選取無關 可分性等價於 f f 1 這可以直接在K 中計算 所有可分元素形成一個中间域K F L L K s Ls K 稱作L K 的可分次數 若Ls L 則稱L K 是可分擴張 當L K 是有限擴張時 定義不可分次數 L K i L K L K s 當基域的特徵為零時 任何代數擴張都是可分的 任何有限域的擴張也都是可分的 参考文献 编辑Serge Lang Algebra 2002 Springer Verlag ISBN 0 387 95385 X外部链接 编辑簡介 Galois 理論 李華介 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 代數擴張 amp oldid 69186233, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,