波矢, 在這篇文章內, 向量與标量分別用粗體與斜體顯示, 例如, 位置向量通常用, displaystyle, mathbf, 表示, 而其大小則用, displaystyle, 來表示, 四維矢量用加有標號的斜體顯示, 例如, displaystyle, 或x, displaystyle, 為了避免歧意, 四維矢量的斜體與標號之間不會有括號, 例如, displaystyle, 表示x, displaystyle, 平方, 而x, displaystyle, 是x, displaystyle, 的第二個分量, 波. 在這篇文章內 向量與标量分別用粗體與斜體顯示 例如 位置向量通常用 r displaystyle mathbf r 表示 而其大小則用 r displaystyle r 來表示 四維矢量用加有標號的斜體顯示 例如 x m displaystyle x mu 或x m displaystyle x mu 為了避免歧意 四維矢量的斜體與標號之間不會有括號 例如 x 2 displaystyle x 2 表示x displaystyle x 平方 而x 2 displaystyle x 2 是x m displaystyle x mu 的第二個分量 波向量是波的向量表示方法 波向量是一个向量 其大小表示波数 k k 2 p l displaystyle k mathbf k 2 pi lambda 其方向表示波传播的方向 波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量 目录 1 定义 1 1 物理学定义 1 2 晶体学定义 2 狭义相对论 2 1 洛伦兹变换 2 1 1 波源远离观测者 2 1 2 波源接近观测者 3 参考文献定义 编辑参见 行波 正弦波波长l可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到 这两点可以是相邻的波峰 波谷或是如图所示的零交点 英语 Zero crossing 当波行进时 给定点的值以正弦作正弦振动 波矢有两种常见的定义 区别在於振幅因子是否乘以2 p displaystyle 2 pi 两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域 1 物理学定义 编辑 理想的一维行波遵循如下方程 ps x t A cos k x w t f displaystyle psi x t A cos kx omega t varphi 其中 x为位置 t为时间 ps displaystyle psi x和t的函数 是对波进行描述的扰动 例如对於海浪 ps displaystyle psi 是超出水面的高度 对於声波 ps displaystyle psi 是超气压 A是波的振幅 振动的峰值 f displaystyle varphi 是相位偏移 描述了两个波互相之间不同步的程度 w displaystyle omega 是波的角频率 描述了在一个给定点波振动的快慢程度 k displaystyle k 是波数 与波长成反比 由k 2 p l displaystyle k 2 pi lambda 求出 此波在 x方向上行进 相速度为w k displaystyle omega k 推广到三维情况下 方程为 ps r t A cos k r w t f displaystyle psi left mathbf r t right A cos left mathbf k cdot mathbf r omega t varphi right 其中 r是三维空间中的位置矢量 displaystyle cdot 是矢量点积 k是波矢 这一方程描述了平面波 一维情况下 波矢的大小是角波数 k 2 p l displaystyle mathbf k 2 pi lambda 波矢的方向是平面波行进的方向 晶体学定义 编辑 在晶体学中 描述相同的波的方程略有不同 2 在一维和三维情况下的方程分别为 ps x t A cos 2 p k x n t f displaystyle psi x t A cos 2 pi kx nu t varphi ps r t A cos 2 p k r n t f displaystyle psi left mathbf r t right A cos left 2 pi mathbf k cdot mathbf r nu t varphi right 不同点在於 晶体学定义使用了频率n displaystyle nu 而不是角频率w displaystyle omega 由公式2 p n w displaystyle 2 pi nu omega 二者可以相互转换 这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用 波数k以及波矢k的定义方式不同 此处的k k 1 l displaystyle k mathbf k 1 lambda 而在物理学定义中 k k 2 p l displaystyle k mathbf k 2 pi lambda 狭义相对论 编辑接近单色光的波包可以由波矢 k m w c k displaystyle k mu left frac omega c vec k right dd 准确描述 若明确的改写成共變和反變形式 则 k m w c k 1 k 2 k 3 displaystyle k mu left frac omega c k 1 k 2 k 3 right 且 k m w c k 1 k 2 k 3 displaystyle k mu left frac omega c k 1 k 2 k 3 right dd 於是波矢的大小为 k 2 k m k m k 0 k 0 k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 displaystyle k 2 k mu k mu k 0 k 0 k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 w 2 c 2 k 2 0 displaystyle frac omega 2 c 2 vec k 2 0 dd dd dd dd 最後一步等於零是因为对於真空中的光满足 k w c displaystyle k frac omega c dd 洛伦兹变换 编辑 对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應 洛伦兹矩阵定义为 L g b g 0 0 b g g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle Lambda begin bmatrix gamma amp beta gamma amp 0 amp 0 beta gamma amp gamma amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end bmatrix dd 在光被快速移动的波源激发的情况下 若要在地球坐标系 实验室坐标系 中检定光的频率 就要使用洛伦兹变换 如下所示 注意波源位於坐标系S s 地球位於观测系S obs 对波矢进行洛伦兹变换得到 k s m L n m k o b s n displaystyle k s mu Lambda nu mu k mathrm obs nu dd 只考虑m 0 displaystyle mu 0 分量的情况 得到 k s 0 L 0 0 k o b s 0 L 1 0 k o b s 1 L 2 0 k o b s 2 L 3 0 k o b s 3 displaystyle k s 0 Lambda 0 0 k mathrm obs 0 Lambda 1 0 k mathrm obs 1 Lambda 2 0 k mathrm obs 2 Lambda 3 0 k mathrm obs 3 dd w s c displaystyle frac omega s c g w o b s c b g k o b s 1 displaystyle gamma frac omega mathrm obs c beta gamma k mathrm obs 1 g w o b s c b g w o b s c cos 8 displaystyle quad gamma frac omega mathrm obs c beta gamma frac omega mathrm obs c cos theta 其中cos 8 displaystyle cos theta 是k 1 displaystyle k 1 关於k 0 displaystyle k 0 的方向余弦k 1 k 0 cos 8 displaystyle k 1 k 0 cos theta dd 因此 w o b s w s 1 g 1 b cos 8 displaystyle frac omega mathrm obs omega s frac 1 gamma 1 beta cos theta dd 波源远离观测者 编辑 当波源径直地远离观测者时 8 p displaystyle theta pi 方程变为 w o b s w s 1 g 1 b 1 b 2 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b displaystyle frac omega mathrm obs omega s frac 1 gamma 1 beta frac sqrt 1 beta 2 1 beta frac sqrt 1 beta 1 beta 1 beta frac sqrt 1 beta sqrt 1 beta dd 波源接近观测者 编辑 当波源径直地接近观测者时 8 0 displaystyle theta 0 方程变为 w o b s w s 1 b 1 b displaystyle frac omega mathrm obs omega s frac sqrt 1 beta sqrt 1 beta dd 参考文献 编辑Brau Charles A Modern Problems in Classical Electrodynamics Oxford University Press 2004 ISBN 0 19 514665 4 物理学定义 Handbook of Physics by Harris Benenson Stocker 第288页 晶体学定义 Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn 第259页 Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn 第259页 取自 https zh wikipedia org w index php title 波矢 amp oldid 35711903, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,