司徒頓t分布

司徒顿t分布（Student's t-distribution），簡稱t 分布，在機率論及统计学中用于根据小样本來估計母體呈常態分布且標準差未知的期望值。若母體標準差已知，或是样本数足够大时（依據中央極限定理漸進常態分布），则应使用常態分布來進行估計。其為对两个样本期望值差异进行显著性测试的司徒頓t檢定之基础。

学生t 分布

概率密度函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle \nu >0\!}$自由度
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)\,(1+x^{2}/\nu )^{(\nu +1)/2}}}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x\Gamma \left((\nu +1)/2\right)\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},(\nu +1)/2;{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma (\nu /2)}}}$其中：${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$是超几何函数
期望值	${\displaystyle \nu >1}$时为${\displaystyle 0}$，${\displaystyle \nu =1}$时未定义
中位數	${\displaystyle 0}$
眾數	${\displaystyle 0}$
方差	${\displaystyle \nu >2}$时为${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!}$，否则为无穷大
偏度	${\displaystyle \nu >3}$时为${\displaystyle 0}$
峰度	${\displaystyle \nu >4}$时为${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!}$
熵	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi }$: 双Γ函数, ${\displaystyle B}$: 贝塔函数
矩生成函数	未定义
特徵函数	${\displaystyle {\frac {K_{\nu /2}({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0}$ ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$: 第二类修正貝塞爾函數

司徒頓t 檢定改進了Z檢定（Z-test），因為在小樣本中，Z檢定以母體標準差已知為前提，Z檢定用在小樣本會產生很大的誤差，因此必須改用学生t 檢定以求準確。但若在樣本數足夠大（普遍認為超過30個即足夠）時，可依據中央極限定理近似常態分布，以Z檢定來求得近似值，

在母體標準差數未知的情況下，不論樣本數量大或小皆可應用t檢定。在待比較的數據有三組以上時，因為誤差無法被壓低，此時可以用變異數分析（ANOVA）代替t檢定。

t 分布的推导最早由德國大地测量学家弗里德里希·羅伯特·赫爾默特（英语：Friedrich Robert Helmert）于1876年提出，并由德國数学家雅各布·魯洛斯（英语：Jacob Lüroth）证明。^[1][2]

英國人威廉·戈塞于1908年再次发现并发表了t分布，当时他还在愛爾蘭都柏林的吉尼斯啤酒酿酒厂工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下，以筆名發表t 分佈的發現，所以论文使用了「学生」（Student）这一笔名。之后t检定以及相关理论经由羅納德·費雪发扬光大，為了感謝戈塞的功勞，費雪将此分布命名为学生t 分布（Student's t）。^[3]

描述

假设${\displaystyle X}$ 是呈正态分布的独立的随机变量（随机变量的期望值為${\displaystyle \mu }$ ，母體變異數為${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 但未知）。 令：

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$ 

为样本期望值。

${\displaystyle {S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$ 

为樣本變異數。

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$ 

為呈期望值為0變異數為1的常態分布的随机变量，

但因母體變異數${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 為未知，因此依史拉斯基定理以${\displaystyle {S_{n}}^{2}}$ 替換之：

${\displaystyle T={\frac {X-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}}$ 

T 的機率密度函數是：

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}(1+{\frac {t^{2}}{\nu }})^{\frac {-(\nu +1)}{2}}}$ 

${\displaystyle \nu }$  等于n − 1。 T的分布称为t 分布。母數${\displaystyle \nu }$  一般被称为自由度。

${\displaystyle \Gamma }$  是伽玛函数。 如果${\displaystyle \nu }$ 是偶数,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot }$ 

如果${\displaystyle \nu }$ 是奇数,

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!}$ 

T 的機率密度函數的形状类似于期望值为0方差为1的正态分布，但更低更宽。随着自由度${\displaystyle \nu }$ 的增加，则越来越接近期望值为0方差为1的正态分布。

t 分布密度 (红色曲线) 在自由度为 1, 2, 3, 5, 10, 30比较于标准正态分布(蓝色曲线).
前幅图用绿色曲线表示.

1 degree of freedom	2 degrees of freedom	3 degrees of freedom
5 degrees of freedom	10 degrees of freedom	30 degrees of freedom

T分布的概率累计函数，用不完全贝塔函数I表示：

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),}$ 

其中

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.}$ 

T分布的矩为：

${\displaystyle E(T^{k})={\begin{cases}0&{\mbox{k odd}},0<k<\nu \\{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {n-k}{2}})^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}&{\mbox{k even}},0<k<\nu \\{\mbox{NaN}}&{\mbox{k odd}},0<\nu \leq k\\\infty &{\mbox{k even}},0<\nu \leq k\\\end{cases}}}$ 

学生t 分布置信区间的推导

假设数量A在当T呈t-分布（T的自由度为n − 1）满足

${\displaystyle \Pr(-A<T<A)=0.90\,}$ 

这与

${\displaystyle \Pr(T<A)=0.95\,}$ 是相同的

A是这个概率分布的第95个百分点

那么

${\displaystyle \Pr \left(-A<{{\overline {X}}_{n}-\mu \over S_{n}/{\sqrt {n}}}<A\right)=0.9,}$ 

等价于

${\displaystyle \Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A{S_{n} \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9}$ 

因此μ的90%置信区间为：

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$ 

计算

现在最方便的计算T分布的办法是使用电子表格软件（如Excel）或查相关在线计算网站。例如，Excel的TDIST(x,v,sides)用来计算自由度为v的T分布，如果第三个参数为1，则给出Pr(T>x)；如果第三个参数为2，则计算Pr(T>x Or T<-x).

下表列出了自由度為${\displaystyle \nu }$ 的t 分布的單側和雙側區間值。例如，當樣本數量n=5時，則自由度${\displaystyle \nu }$ =4，我們就可以查找表中以4開頭的行。該行第5列值為2.132，對應的單側值為95%（雙側值為90%）。這也就是說，T小於2.132的概率為95%（即單側），記為Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95；同時，T值介於-2.132和2.132之間的概率為90%（即雙側），記為Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9。

這是根據分布的對稱性計算得到的，

Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,

因此，

Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

注意關於表格的最後一行的值：自由度為無限大的t-分布和常態分布等價。

單側	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
雙側	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
${\displaystyle \infty }$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

範例

给定一个样本：样本期望值和方差分别为10和2，样本大小为11（自由度为10）。根據公式：

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$ 

可知，使用該方法統計出來的最大值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水準/confidence level）低於：

${\displaystyle 10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.58510.}$ 

同理，使用該方法統計出來的最小值，平均有90%的概率（即90%置信度/信心水準/confidence level）高於：

${\displaystyle 10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.41490.}$ 

因此，使用該方法統計出來的最大值和最小值，平均有80%的概率介於：

${\displaystyle 10\pm 1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=[9.41490,10.58510]}$ 

兩值之間。（需注意此非代表數據的真正期望值介於這兩個值之間的機率為80%，詳情請參見置信区间。）

參見

• 假說檢定
• 司徒頓t檢定
• 概率分布
• Levene's test（英语：Levene's test）

參考文獻

1. Pfanzagl, J.; Sheynin, O. A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV). Biometrika. 1996, 83 (4): 891–898. MR 1766040. doi:10.1093/biomet/83.4.891. 
2. Sheynin, O. Helmert’s work in the theory of errors. Arch. Hist. Exact Sci. 1995, 49: 73–104. doi:10.1007/BF00374700. 
3. Moore, David S. Introduction to the Practice of SATISTICS. George P. McCabe, Bruce A. Craig 7th International Edition. New York: W. H. Freeman and Company. 2012: p. 401. ISBN 978-1-4292-8664-0 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結

• (en)Probability, Statistics and Estimation（页面存档备份，存于互联网档案馆） 首先第112页。