Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. 2004. ISBN 0-8247-5402-6.
二月 18, 2023
梅林变换, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2020年4月28日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标签, 在数学中, 是一种以幂函数为核的积分变换, 与双边拉普拉斯变换有密. 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2020年4月28日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 在数学中 梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换 与双边拉普拉斯变换有密切关联 梅林变换定义式如下 M f s f s 0 x s 1 f x d x displaystyle left mathcal M f right s varphi s int 0 infty x s 1 f x dx 而其逆变换为 M 1 f x f x 1 2 p i c i c i x s f s d s displaystyle left mathcal M 1 varphi right x f x frac 1 2 pi i int c i infty c i infty x s varphi s ds 梅林变换有许多应用 出于它与狄利克雷级数的联系 它也被用以证明黎曼z函数与素数计数函数有关的的函数方程 进一步地 它也与解析数论有关 如在佩龙公式中 同时 它与伽马函数密切相关 很多常见函数的梅林变换中都需要用到伽马函数或它衍生出的贝塔函数 这使得它被运用在梅林 巴恩斯积分和超几何函数的理论中 衍生出了在计算机代数系统中使用的 可以快速计算大量定积分的Meijer G 函数 目录 1 與其他變換之關係 1 1 雙邊拉普拉斯變換 1 2 傅立葉變換 2 範例 2 1 Cahen Mellin 積分 2 2 數論 3 圓柱坐標系下的拉普拉斯算子 4 参考文献與其他變換之關係 编辑之所以伽马函数与积分变换的理论联系密切 是因为伽马函数同时是指数函数的拉普拉斯变换和幂函数的梅林变换 这也展示了两种积分变换之间的联系 雙邊拉普拉斯變換 编辑 雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示 如下式 B f s M f ln x s displaystyle left mathcal B f right s left mathcal M f ln x right s 梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示 如下式 M f s B f e x s displaystyle left mathcal M f right s left mathcal B f e x right s 傅立葉變換 编辑 傅立葉變換可以用梅林變換來表示 如下式 F f s B f i s M f ln x i s displaystyle left mathcal F f right s left mathcal B f right is left mathcal M f ln x right is 梅林變換變換也可以用傅立葉來表示 如下式 M f s B f e x s F f e x i s displaystyle left mathcal M f right s left mathcal B f e x right s left mathcal F f e x right is 範例 编辑Cahen Mellin 積分 编辑 對於 c gt 0 displaystyle c gt 0 ℜ y gt 0 displaystyle Re y gt 0 且 y s displaystyle y s 在主要分支 principal branch 上 我們有 e y 1 2 p i c i c i G s y s d s displaystyle e y frac 1 2 pi i int c i infty c i infty Gamma s y s ds 其中 G s displaystyle Gamma s 為 G函數 數論 编辑 假設 ℜ s a lt 0 displaystyle Re s a lt 0 我們有 f x 0 x lt 1 x a x gt 1 displaystyle f x begin cases 0 amp x lt 1 x a amp x gt 1 end cases 其中 M f s 1 s a displaystyle mathcal M f s frac 1 s a 圓柱坐標系下的拉普拉斯算子 编辑在任何維度的圓柱坐標系中 拉普拉斯算子總是會包含下式 1 r r r f r displaystyle frac 1 r frac partial partial r left r frac partial f partial r right 例如 拉普拉斯算子在二維空間的極坐標表示法 2 f 1 r r r f r 1 r 2 2 f 8 2 displaystyle nabla 2 f frac 1 r frac partial partial r left r frac partial f partial r right frac 1 r 2 frac partial 2 f partial theta 2 或是在三維空間的柱坐標表示法 2 f 1 r r r f r 1 r 2 2 f f 2 2 f z 2 displaystyle nabla 2 f frac 1 r frac partial partial r left r frac partial f partial r right frac 1 r 2 frac partial 2 f partial varphi 2 frac partial 2 f partial z 2 而利用梅林變換可以很簡單的處理此項 1 r r r f r f r r f r r displaystyle frac 1 r frac partial partial r left r frac partial f partial r right f rr frac f r r M r 2 f r r r f r r s s 2 M f r s s 2 F displaystyle mathcal M left r 2 f rr rf r r to s right s 2 mathcal M left f r to s right s 2 F 舉例來說 二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式 r 2 f r r r f r f 8 8 0 displaystyle r 2 f rr rf r f theta theta 0 或是 1 r r r f r 1 r 2 2 f 8 2 0 displaystyle frac 1 r frac partial partial r left r frac partial f partial r right frac 1 r 2 frac partial 2 f partial theta 2 0 利用梅林變換 可以轉換成一個簡諧振子的形式 F 8 8 s 2 F 0 displaystyle F theta theta s 2 F 0 通解為 F s 8 C 1 s cos s 8 C 2 s sin s 8 displaystyle F s theta C 1 s cos s theta C 2 s sin s theta 若給定邊界條件 f r 8 0 a r f r 8 0 b r displaystyle f r theta 0 a r quad f r theta 0 b r 其梅林變換為 F s 8 0 A s F s 8 0 B s displaystyle F s theta 0 A s quad F s theta 0 B s 則通解可以寫成 F s 8 A s sin s 8 0 8 sin 2 8 0 s B s sin s 8 0 8 sin 2 8 0 s displaystyle F s theta A s frac sin s theta 0 theta sin 2 theta 0 s B s frac sin s theta 0 theta sin 2 theta 0 s 最後利用逆變換以及卷積定理 M 1 sin s f sin 2 8 0 s s r 1 2 8 0 r m sin m f 1 2 r m cos m f r 2 m displaystyle mathcal M 1 left frac sin s varphi sin 2 theta 0 s s to r right frac 1 2 theta 0 frac r m sin m varphi 1 2r m cos m varphi r 2m 其中 m p 2 8 0 displaystyle m frac pi 2 theta 0 可以得到 f r 8 r m cos m 8 2 8 0 0 a x x 2 m 2 r m x m sin m 8 r 2 m b x x 2 m 2 r m x m sin m 8 r 2 m x m 1 d x displaystyle f r theta frac r m cos m theta 2 theta 0 int 0 infty left frac a x x 2m 2r m x m sin m theta r 2m frac b x x 2m 2r m x m sin m theta r 2m right x m 1 dx 参考文献 编辑Galambos Janos Simonelli Italo Products of random variables applications to problems of physics and to arithmetical functions Marcel Dekker Inc 2004 ISBN 0 8247 5402 6 取自 https zh wikipedia org w index php title 梅林变换 amp oldid 64226025, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,