Artin群

數學上，阿廷群（或Artin group、稱廣義辮群），是指有如下展示的群：

${\displaystyle {\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m_{i,j}}=\langle x_{j},x_{i}\rangle ^{m_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }}$

其中

${\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}}$.

對${\displaystyle m<\infty }$，${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}}$表示長度為${\displaystyle m}$的${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle x_{j}}$的交錯積，以${\displaystyle x_{i}}$開首。例如：

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}}$，

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}}$。

若${\displaystyle m=\infty }$，按慣例這表示${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle x_{j}}$間沒有關係。

在整數${\displaystyle m_{i,j}}$中加入${\displaystyle m_{i,i}=1}$，可以組成一個對稱矩陣，稱為這個群的考克斯特矩陣（Coxeter matrix）。在Artin群中加入所有形為${\displaystyle {x_{i}}^{2}=1}$的關係，得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態的核，稱為純阿廷群（pure Artin group）。

Artin群的類

辮群是Artin群的一種，其考克斯特矩陣為${\displaystyle m_{i,i+1}=3}$ ，及當${\displaystyle |i-j|>1}$ 時${\displaystyle m_{i,j}=2}$ 。

用Artin群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的Artin群：

有限型Artin群

若M是有限型考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群W = A(M)是有限群，那麼Artin群A = A(M)稱為有限型Artin群（Artin group of finite type）。其「不可約型」標記為A_n , B_n = C_n , D_n , I₂(n) , F₄ , E₆ , E₇ , E₈ , H₃ , H₄ 。一個有限型純Artin群，可以表現為Cⁿ中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述，算出A的中心、上同調，及解出字問題和共軛問題。

直角Artin群

若矩陣M中除對角線外的元素都是2或∞，則對應的Artin群稱為直角Artin群（right-angled Artin group）。這類Artin群常用以下的方式標記：任何一個有n個頂點的圖 Γ，頂點標記為1, 2, …, n，都可定義一個矩陣M，其中若i和j在Γ中相連，則m_ij = 2，否則m_ij = ∞。與矩陣M對應的直角Artin群A(Γ)有n個生成元x₁, x₂, …, x_n及關係

${\displaystyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\quad }$ 若i和j在${\displaystyle \Gamma }$ 中相連。

直角Artin群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，及有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每個秩為r的直角Artin群都是一個秩為r-1的直角Artin群的HNN擴張，兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積（graph product of groups）。直角Artin群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩1自由群（即無限循環群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形（nonpositively curved cubical complex）K，其基本群是一個給定的直角Artin群A(Γ)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證，給出具有性質(FP₂)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群

若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中，對所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 3，稱這個群是大型（large type）的；若對所有i ≠ j都有m_{i, j} ≥ 4，則稱這個群是超大型（extra-large type）的。

凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為：

1. 設G為超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I，則G_J有一個展示由考克斯特矩陣M_J定義，且G_J在G中的廣義字問題可解。若J, K ⊆ I則G_J ∩ G_K = G _{(J ∩ K)}.
2. 超大型Artin群是無扭（即無有限目的元素）的。
3. 設G為超大型Artin群，則集合{a_i² : i ∈ I}自由生成G的一個自由子群。
4. 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。

參考

• Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
• Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
• Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
• Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220