黎納-維謝勢

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「${\displaystyle '\,\!}$」；源變數的標記的後面有單撇號「${\displaystyle '\,\!}$」。

在電動力學裏，黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

埃米尔·维舍特

阿弗雷-瑪麗·黎納（英语：Alfred-Marie Liénard）於1898年，埃米尔·维舍特於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式^[1][2]。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢^[3]。

歷史重要性

經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論

 

帶電粒子的移動軌道。

假設，從源頭位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 往檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$ 抵達觀測者的檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$ ，會不同於這電磁波發射的推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 。推遲時間 ${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 定義為檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$ 減去電磁波傳播的時間：

${\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle c\,\!}$ 是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為時間延遲。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

表達方程式

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為${\displaystyle q\,\!}$ ，隨著時間${\displaystyle t\,\!}$ 而改變的運動軌道為${\displaystyle \mathbf {w} (t)\,\!}$ 。設定向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!}$ 為從帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!}$ 到檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的分離向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!}$ 。

則黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 分別以方程式表達為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 是真空電容率，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是帶電粒子的移動速度，${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!}$ 。

雖然黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的時間參數是${\displaystyle t\,\!}$ ，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 和速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 都是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 時的數值：

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!}$ 。

推導

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 與推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$ 和${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$ 分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，${\displaystyle {\mathcal {V}}'\,\!}$ 是積分的體空間，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 是微小體元素，${\displaystyle {\mathfrak {R}}\,\!}$ 向量還是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$ 是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的方程式，

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 。

由於狄拉克δ函數${\displaystyle \delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!}$ 的積分會從${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 的可能值中，挑選出當${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$ 。

由於推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$ 跟三個變數${\displaystyle t\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$ 有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法^[4]。設定變數${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$ 。那麼，其雅可比行列式${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$ 為

${\displaystyle {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!}$ 。

行列式內分量很容易計算，例如：

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$ 。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

${\displaystyle {\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!}$ 。

所以，推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ 的方程式變為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!}$ 。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$ 。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

相對論性導引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作${\displaystyle S^{\prime }}$ 。在${\displaystyle S^{\prime }}$ 系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。^[5][6]:165ff

${\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$ 、

${\displaystyle A'=0}$ 。

标势和矢势从${\displaystyle S^{\prime }}$ 系到${\displaystyle S}$ 系的变换满足洛仑兹变换：

${\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}$ 、

${\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma }$ 是洛仑兹因子，${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$ 。

代入后可以得到：

${\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$ 、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}$ 。

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ 和${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ 的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$ 

将${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ 的表达式代入即得到黎納-维谢势。

物理意義

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!}$ 。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$ 。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。^[5]

移動中的帶電粒子的電磁場

從黎納-維謝勢，可以計算電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$ 。

求得的電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 分別為^[7]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}[(c^{2}-v^{2})\mathbf {u} +{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\times (\mathbf {u} \times \mathbf {a} )]\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$  ;

其中，向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$ 設定為${\displaystyle c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!}$ ，帶電粒子的加速度是${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!}$ 。

檢查電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當${\displaystyle v\ll c\,\!}$ ，粒子速度超小於光速時，${\displaystyle \mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!}$ ，這項目會趨向庫侖方程式：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!}$ 。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱

• 電磁波方程式
• 非齊次的電磁波方程式
• 傑斐緬柯方程式
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 電磁場的數學表述

參考文獻

1. Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 [2009-10-17], （原始内容于2009-07-06） 
2. Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert（1861–1928）: Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
3. Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
4. Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link)
5. 俞允强. 《电动力学简明教程》. 北京大学出版社. 1999: p298.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
6. Bo Thide. . Dover Publications, Incorporated. 2011-03-17 [2016-06-26]. ISBN 978-0-486-47773-2. （原始内容存档于2016-06-10）. 
7. Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)