黄金三角形

黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，因为它腰与底边（或底边与腰）的比值等于黄金比故得名。黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形。其中锐角三角形的顶角为36度底角72度，而钝角三角形顶角108度，底角各36度。

黃金三角形。利用相似三角形關係與等腰三角形性質可知其腰底比為黃金比

黄金三角形与等角螺线

 

黄金三角形内的等角螺线

如图所示：通过黄金三角形做出等角螺线，方法是不断地作出72度底角的平分线，通过连接作出的小黄金三角形的两个底端点便可以看到其中蕴含的等角螺线。

黄金三角形与其他几何图形

 

如图为一个五角星,五角星的每一个角上都是一个黄金三角形

五角星中也有黄金三角形。五角星每一个角都为36度，即每一个角上都有一个黄金三角形。

黄金三角形与三角函数

通过黄金三角形，我们可以轻易地求出以下三角函数值：

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$ 

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}$ 

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$ 

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}$ 

参见

• 黄金矩形
• 黄金菱形
• 开普勒三角
• 黄金分割