黃金菱形

在幾何學中，黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形^[1]：

黃金菱形

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

其中${\displaystyle D}$為長對角線的長度、${\displaystyle d}$為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形（英语：Varignon parallelogram）皆為黃金菱形。^[1] 有數種知名的多面體皆由黃金菱形組成，例如比林斯基十二面體（英语：Bilinski_dodecahedron）^[2][3]、菱形三十面體^[4]等。特別地，有另一種菱形也與黃金比例相關聯，即潘洛斯鑲嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形，但不同之處在於，潘洛斯鑲嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例，而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。^[5]

性質

主条目：菱形

黃金菱形是菱形中的一個特例，其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。

內角

黃金菱形的內角為^[6]：

• 銳角：${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$  ;

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$ 

• 鈍角：${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$ 

這個角度值與正十二面體相同^[7]

邊長與對角線長

由於菱形也是一種平行四邊形^[8]，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出^[9]：

黃金菱形的邊長${\displaystyle a}$ 與對角線長${\displaystyle d}$ 具有以下關係：

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$ 

因此，可以用${\displaystyle a}$ 來表示長對角線${\displaystyle D}$ 與短對角線${\displaystyle d}$ ：^[6]

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$ 
• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$ 

面積

已知短對角線長${\displaystyle d}$ 時，黃金菱形的的面積為^[10]：

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$ 

已知邊長為${\displaystyle a}$ 時，黃金菱形的的面積為^[6][10]：

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$ 

在多面體中

黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中，例如菱形三十面體（截半二十面体的對偶多面體）^[4]、菱形六十面體（菱形三十面體的星形化體）^[11]。黃金菱形也構成了許多知名的多面體，例如黃金菱形六面體（英语：Golden rhombohedra）、比林斯基十二面體（英语：Bilinski dodecahedron）和菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性（即允許非凸多面體），則有無限多種多面體可以包含黃金菱形^[12]。

•  

  銳角黃金菱形六面體（英语：Golden rhombohedra）

•  

  鈍角黃金菱形六面體

•  

  比林斯基十二面體（英语：Bilinski dodecahedron）

•  

  菱形二十面體

•  

  菱形三十面體

•  

  菱形六十面體

參見

• 黄金三角形

參考文獻

1. Senechal, Marjorie, Donald and the golden rhombohedra, Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (编), The Coxeter Legacy, American Mathematical Society, Providence, RI: 159–177, 2006, ISBN 0-8218-3722-2, MR 2209027 
2. Branko Grünbaum. (PDF) 32 (4): 5–15. 2010 [2020-08-04]. （原始内容 (PDF)存档于2015-04-02）. 
3. H.S.M Coxeter, "Regular polytopes", Dover publications, 1973.
4. Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
5. Livio, Mario, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number, New York: Broadway Books: 206, 2002 
6. Ogawa, Tohru, Symmetry of three-dimensional quasicrystals, Materials Science Forum, January 1987, 22–24: 187–200, doi:10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187 . See in particular table 1, p. 188.
7. Gevay, G., Non-metallic quasicrystals: Hypothesis or reality?, Phase Transitions, June 1993, 44 (1-3): 47–50, doi:10.1080/01411599308210255 
8. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin. "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition". Information Age Publishing. 2008: pp. 55-56 [2020-08-15]. （原始内容于2020-02-26）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
9. Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
10. Weisstein, Eric W. (编). Golden Rhombus. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
11. Weisstein, Eric W. (编). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
12. Grünbaum, Branko, The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra (PDF), The Mathematical Intelligencer, 2010, 32 (4): 5–15 [2020-08-04], MR 2747698, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, （原始内容 (PDF)于2015-04-02） .

外部連結

• From a golden rectangle to a golden rhombus and other golden quadrilaterals （页面存档备份，存于互联网档案馆） Explores some aspects of possible golden rhombi (and golden parallelograms)