韦达定理

在數學上，韦达定理是一個公式 (英語：Vieta's formulas)，給出多項式方程的根與係數的关系，因而又被代稱為根與係數。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。韋達定理常用於代數領域。

韋達定理的實用之處在於，它提供一個不用直接把根解出來的方法來計算根之間的關係。

敘述

设 ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$  是一个一元 n 次實(或複)係數多項式，首項系數 ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ，令 P 的 n 個根為 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ，则根 ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ 和係數 ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ 之間滿足關係式

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}$ 

等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比 ${\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$  是所有任取 k 個根的乘積的和的 ${\displaystyle (-1)^{k}}$  倍，即

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$ 

其中 ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$  是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。

证明

因為 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$  是一元 n 次多項式 ${\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$  的 n 个根。於是有

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$ 

根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}$ 

上式等同於韋達定理的敘述。

特例

n=2

设 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$  是一元二次多項式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$  的两根，則由${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}}$ 有

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ 

這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用解公式即 ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ，${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$ 證明：

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$ 

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}$ 

在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ，如果有两个数 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ，滿足 ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$  和 ${\displaystyle \,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ ，則 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ 就是多項式${\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,}$ 的兩根。

n=3

设 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$  是一元三次多項式 ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$  的三根，則

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$ 

推廣至環

韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}$  在 R 中不見得有定義，除非 ${\displaystyle a_{n}}$  本身是可逆元。但 ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}$  在 R 的分式環 K 中有定義，而根 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$  則在 K 的代數閉包 ${\displaystyle {\bar {K}}}$  中有定義。特別的，如果 R 是整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，則 K 是有理數體 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，${\displaystyle {\bar {K}}}$ 是複數體 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一，${\displaystyle a_{n}}$  可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 ${\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$ 。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$  中，多項式 ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$  有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 ${\displaystyle x_{1}=1}$ ，${\displaystyle x_{2}=3}$ ，會發現 ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$ ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 ${\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)}$  和 ${\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)}$ 。

歷史

在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Albert Girard（英语：Albert Girard） 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓（英语：Charles Hutton）的話寫道^[1]

...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。

參考資料

1. （Funkhouser 1930）

• Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273 
• Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4 

• Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 

参见

• 法兰西斯·韦达
• 对称多项式
• 韋達跳躍
• 天元术