關係範疇

在數學上，關係範疇（記做Rel）指的是以集合為物件、以二元關係為態射的範疇。

關係範疇Rel.

Rel的反範疇Rel^op.

在這個範疇中，其態射${\displaystyle R:A\longrightarrow B}$是${\displaystyle A}$與${\displaystyle B}$之間的關係，因此${\displaystyle R\subseteq A\times B}$

這範疇中兩個關係${\displaystyle R:A\longrightarrow B}$及${\displaystyle S:C\longrightarrow D}$的合成由下式給出：

${\displaystyle (a,c)\in S\circ R}$，若且唯若對於一些${\displaystyle b\in B}$而言，${\displaystyle (a,b)\in R}$且${\displaystyle (b,c)\in S}$^[1]

關係範疇又被一些人稱為「集合間對應的範疇」（category of correspondences of sets）。^[2]

性質

集合範疇是關係範疇的（寬）子範疇，其中集合範疇的態射${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ 對應至以${\displaystyle (x,y)\in F\iff f(x)=y}$ 定義的關係${\displaystyle F\subseteq X\times Y}$ 。^[3][4]

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其反範疇（英语：opposite category）映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個逆關係（英语：Converse relation），因此關係範疇包含其反範疇且是個自雙對（英语：Dual (category theory)）。^[5]

由逆關係作代表所建構的對合為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個短劍範疇（英语：dagger category）。

關係範疇有兩個做為同態函子（英语：hom functor）並映至自己的函子，其中一個是二元關係${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ ，另一個則是其轉置${\displaystyle R^{T}\subseteq B\times A}$ ，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為${\displaystyle RR^{T}}$ 及${\displaystyle R^{T}R}$ ，其中第一個合成關係${\displaystyle RR^{T}}$ 給出了A上的齊次關係（英语：homogeneous relation）；而第二個合成關係${\displaystyle R^{T}R}$ 則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個閉範疇（英语：Closed category），且是個短劍緊緻範疇（英语：dagger compact category）。

關係範疇可以克萊斯利範疇（英语：Kleisli category）的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至冪集的函子為協變函子的單子。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以不相交聯集（而非如集合範疇一般的笛卡爾積）定義的^[5]:181，而其餘積（英语：Coproduct）亦然。

就其幺半乘積${\displaystyle A\otimes B}$ 與內部同態函子${\displaystyle A\implies B}$ 而言，關係範疇是個閉幺半範疇（英语：Closed monoidal category）。

關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構寓範疇（英语：Allegory (mathematics)）的原型^[6]，他們自正則範疇（英语：regular category）與${\displaystyle F:A\longrightarrow B}$ 出發，他們注意到了派生函子${\displaystyle Rel(A,B)\longrightarrow Rel(FA,FB)}$ 的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

關係作為物件

David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是${\displaystyle A}$ 是一個集合而${\displaystyle R\subseteq A\times A}$ 是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在${\displaystyle S\subseteq B\times B}$ 是第二個關係且${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ 是一個使得${\displaystyle xRy\implies f(x)Sf(y),}$ 成立的函數，那${\displaystyle f}$ 是一個態射。^[7]

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件${\displaystyle (A,R)}$ 與${\displaystyle (B,S)}$ 給設成（集合，關係）。^[8]

參考資料

1. Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician 1st. New York: Springer-Verlag. 1988: 26. ISBN 0-387-90035-7. 
2. Pareigis, Bodo. Categories and Functors. Pure and Applied Mathematics 39. Academic Press. 1970: 6. ISBN 978-0-12-545150-5. 
3. Rydeheard與Burstall二氏將此範疇給記做Set_Rel
4. George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions （页面存档备份，存于互联网档案馆）, §7.2 RelSet, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
5. Michael Barr & Charles Wells (1998) Category Theory for Computing Science 互联网档案馆的，存档日期2016-03-04., page 83, from McGill University
6. Peter J. Freyd（英语：Peter J. Freyd） & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, pages 79, 196, North Holland ISBN 0-444-70368-3
7. David Rydeheard & Rod Burstall（英语：Rod Burstall） (1988) Computational Category Theory, page 41, Prentice-Hall ISBN 978-0131627369
8. Juri Adamek, Horst Herrlich, and George E. Strecker (2004) [1990] Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆）, section 3.3, example 2(d) page 22, from Research group KatMAT （页面存档备份，存于互联网档案馆） at University of Bremen

• Francis Borceux. . Cambridge University Press. 1994: 115 [2022-07-14]. ISBN 978-0-521-44179-7. （原始内容存档于2022-07-14）.