費馬點

在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和

${\displaystyle PA+PB+PC}$

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在一封写给意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。^[1]托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

源起：费马的问题

1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃萬傑利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因^[1]。费马的问题是这样的：

平面上有三个不在同一条直线上的点A, B, C，对平面上的另一个点P，考虑点P到原来的三个点的距离之和：PA + PB + PC。是否有这样一个点P₀，使得它到点A, B, C的距离之和P₀A + P₀B + P₀C比任何其它的PA + PB + PC都要小？

这个问题首先被托里拆利解决，但他生前并没有发表。托里拆利的学生温琴佐·维维亚尼在1659年将他的遗作整理發表，其中包括了费马点问题的证明^[2]:124。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。^[3][4]

费马-托里拆利点

托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。

1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。^[5]

作法及证明

 

下面是三角形的费马点的作法：

• 当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应顶点。
• 当三角形的内角都小于120°时
  • 以三角形的每一边为底边，向外做三個正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
  • 連接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。^[6]

几何证明

 

三角形的内角都小于120°的情况：

首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。

设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角${\displaystyle \angle \mathrm {C'PB} }$ 等于60度，和${\displaystyle \angle \mathrm {C'AB} }$ 相等。因此，A、B、C'、P四点共圆。同样地，可以证明A、B'、C、P四点共圆。于是：

${\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }}$ 

从而${\displaystyle \angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }}$ 。于是可以得出：A'、B、C、P四点共圆，即

${\displaystyle \angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }}$ 

${\displaystyle \angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }}$ 

A、A'、P三点共线。也就是说CC'、BB'、AA'三条线交于一点。^[6][7]:90

接下来证明交点P就是到三个顶点距离之和最小的点。

在线段AA'上选择一点Q，使得QP = PC。由于${\displaystyle \angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }}$ ，所以等腰三角形PQC是正三角形。于是${\displaystyle \angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} }$ 。同时QC = PC、BC = A'C，于是可以得出三角形BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' = PB。综上可得出：

PA + PB + PC = AA'

对于平面上另外一个点P'，以P'C为底边，向下作正三角形P'Q'C。运用类似以上的推理可以证明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有：

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A

平面上两点之间以直线长度最短。因此

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC.

也就是说，点P是平面上到点A、B、C距离的和最短的一点。^{[6][2]:124-125}

最后证明唯一性。

如果有另外一点P'使得P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC，那么

AA' = AP' + P'Q' + Q'A'

 

因此点P'和Q'也在线段AA'之上。依照P'和Q'的定义，可以推出

${\displaystyle \angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }}$ 

因此P'也是CC'、BB'、AA'三条线的交点。因此P'点也就是P点。因此点P是唯一的。^[7]:92

有一内角大于120°的情况。

如右图， ${\displaystyle \angle \mathrm {BAC} }$ 大于120°，P为三角形内一点。以BA为底边，向上作正三角形BAF；以PA为底边，向上作正三角形PAQ。于是三角形AQF和三角形APB是全等三角形。FQ = PB。所以

PA + PB + PC = FQ + QP + PC.

延长FA交QC于D点，则

FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC.

即PA + PB + PC > AB + AC.

所以A点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即A点为费马点。

物理学解释

费马的问题也可以用物理的方法来解决。将平面上所给的三个给定点钻出洞来，再设有三条绳子系在一起，每条绳子各穿过一个洞口，而绳子的末端都绑有一个固定重量m的重物。假设摩擦力可以忽略，那么绳子会被拉紧，而绳结最后会停在平面一点的上方。可以证明，这个点就是三个给定点所对应的费马点。首先，由于绳长是固定的，而绳子竖直下垂的部分越长，重物的位置也就越低，势能越低。在平衡态的时候，系统的势能达到最小值，也就是绳子竖直下垂的部分的长度达到最大值，因此水平的部分的长度达到最小值。而绳子的水平部分的长度就是PA + PB + PC，因此这时PA + PB + PC最小，也就是达到费马点。

在系统处于平衡态时，由力学原理可知绳子两两之间张成的角度${\displaystyle \angle \mathrm {APB} }$ 、${\displaystyle \angle \mathrm {BPC} }$ 和${\displaystyle \angle \mathrm {APC} }$  之间满足合力公式：

${\displaystyle {\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}}$ 

也就是说这三个角相等，即都是120°。^{[6][8]:197-198}

推广

费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有m个点：P₁ , P₂ , ... , P_m，又有正实数：λ₁ , λ₂ , ... , λ_m。费马问题可以推广为：寻找一个点X，使得它到这m个点的距离在加权后之和:

${\displaystyle \lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}}$ 

是最小的。

高维的情况

费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在n维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中，给定m个点：p₁ , p₂ , ... , p_m，对空间中另一点x，设它到前述m个点的欧几里德距离之和为函数Dist(x)：

${\displaystyle \operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|}$ 

则费马点问题就变成寻找使得Dist(x)最小的一点p_min ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ^[9]:236-237。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论^[9]:237：

1. 使得Dist(x)最小点p_min并且是唯一的。
2. 如果从任何一点p_i到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
   • p_min不是p₁ , p₂ , ... , p_m中任何一点，
   • 从p_min到p₁ , p₂ , ... , p_m方向上的m个单位向量的向量和是0。
3. 如果从某一点p_i到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度小于等于1，那么p_min就是这个点。

对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重^[9]:249-250。

参见

• 西姆松定理
• 九点圆
• 斯坦纳树

参考来源

1. P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)
2. O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer，第2版，插图版. 2008. ISBN 9780387781310. 
3. E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97
4. E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431
5. Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387. 
6. 張雄. (PDF). 《数學傳播》: 75–79. [2010-07-25]. （原始内容 (PDF)存档于2012-11-19）. 
7. Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插图版. 2009. ISBN 9783034600491. 
8. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630. 
9. Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插图版. 1999. ISBN 9780792354543. 

• Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba. The parsimonious universe: shape and form in the natural world. Springer. 1996. ISBN 978-0387979915. 
• 一个实际的例子，费马点. [2013-03-19]. （原始内容于2020-01-30） （英语）.