P. R. Halmos. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity. Chelsea Pub Co; 2 edition. August 1998. ISBN 978-0-82-181378-2.
十月 05, 2023
贝塞尔不等式, 在数学里的泛函分析中, 英語, bassel, inequality, 是类似于勾股定理的一种不等式, 揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系, 举例来说, 平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和, 而对于一个三维空间上的向量, 它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方, 除非它就在这两个坐标轴构成的平面上, 对于一个希尔伯特空间中的向量来说, 它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的长度的平方. 在数学里的泛函分析中 贝塞尔不等式 英語 Bassel s inequality 是类似于勾股定理的一种不等式 贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系 举例来说 平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和 而对于一个三维空间上的向量 它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方 除非它就在这两个坐标轴构成的平面上 对于一个希尔伯特空间中的向量来说 它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的长度的平方 这就是贝塞尔不等式 贝塞尔不等式的等号成立当且仅当正交序列是完全序列 这时贝塞尔不等式转化为帕塞瓦尔定理 目录 1 定理的叙述 2 例子 2 1 例一 平面直角坐标系 2 2 例二 三维空间中的平面投影 3 证明 4 参见 5 参考来源定理的叙述 编辑设H displaystyle mathcal H nbsp 是一个装备了内积 displaystyle left langle cdot cdot right rangle nbsp 的希尔伯特空间 考虑一组规范正交向量的序列 e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 cdots e n cdots nbsp 那么 对于任意一个H displaystyle mathcal H nbsp 中的元素 都有 k x e k 2 x 2 displaystyle sum k left left langle x e k right rangle right 2 leq left x right 2 nbsp 其中的系数 x e k displaystyle left langle x e k right rangle nbsp 是x 在一个正交向量序列中元素e k displaystyle e k nbsp 上的投影的长度 例子 编辑例一 平面直角坐标系 编辑 nbsp 平面上的向量满足勾股定理 在平面上 假定已经存在一个由相互垂直的向量构成的直角坐标系 根据勾股定理 一个向量的长度的平方r 2 displaystyle r 2 nbsp 等于它在X 轴的投影的长度的平方 x 2 displaystyle x 2 nbsp 加上它在Y 轴的投影的长度的平方 y 2 displaystyle y 2 nbsp 如右图 nbsp 实际上 整个平面上的每一个向量都可以由这两个相互垂直的单位向量的有限线性组合表示 这样的一组相互垂直的向量被称为是这个平面里的一组完全规范正交向量 每个向量都可以被这一组向量的有限线性组合作任意程度的逼近 事实上是等于 例二 三维空间中的平面投影 编辑 当向量是在三维欧几里得空间中时 对于一个平面 比如说xOy平面 以及平面上的一个由相互垂直的向量 Ox 方向上的e x displaystyle e x nbsp 和Oy 方向上的e y displaystyle e y nbsp 构成的直角坐标系 向量的长度的平方会比它在X 轴的投影的长度平方加上它在Y 轴的投影的长度平方之和还要大 实际上 这个平方和正是向量在xOy平面上的投影的长度的平方 而原来的向量的长度的平方是这个投影长度的平方加上它在Z 轴的投影的长度平方 这个事实说明 向量e x displaystyle e x nbsp 和e y displaystyle e y nbsp 不是三维欧几里得空间里的一组完全正交向量 证明 编辑证明的思路是利用一般希尔伯特空间中的 勾股定理 如果两个向量垂直 那么它们的和的长度平方等于它们两个的长度的平方和 首先考虑规范正交向量序列有限时的情形 设序列的长度是n 序列中的元素是 e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 cdots e n nbsp 设一个向量x 在这个规范正交序列上的投影为向量 p x k 1 n x e k e k displaystyle p x sum k 1 n langle x e k rangle e k nbsp 而x 与它的投影的差则是向量 z x x p x x k 1 n x e k e k displaystyle z x x p x x sum k 1 n langle x e k rangle e k nbsp 这两个向量的内积等于 p x z x k 1 n x e k e k x k 1 n x e k e k k 1 n x e k e k x k 1 n l 1 n x e k x e l e k e l displaystyle langle p x z x rangle langle sum k 1 n langle x e k rangle e k x sum k 1 n langle x e k rangle e k rangle sum k 1 n langle x e k rangle langle e k x rangle sum k 1 n sum l 1 n langle x e k rangle overline langle x e l rangle langle e k e l rangle nbsp k 1 n x e k 2 k 1 n x e k 2 e k e k k 1 n x e k 2 k 1 n x e k 2 0 displaystyle sum k 1 n langle x e k rangle 2 sum k 1 n langle x e k rangle 2 langle e k e k rangle sum k 1 n langle x e k rangle 2 sum k 1 n langle x e k rangle 2 0 nbsp 也就是说 x 在这个规范正交序列上的投影垂直于x 与它的投影的差 所以根据勾股定理 有 x 2 p x 2 z x 2 p x 2 k 1 n x e k 2 e k e k k 1 n x e k 2 displaystyle left x right 2 left p x right 2 left z x right 2 geq left p x right 2 sum k 1 n langle x e k rangle 2 langle e k e k rangle sum k 1 n langle x e k rangle 2 nbsp 即使规范正交向量序列是无限的 只要它是可数的 就会有相同的不等式 实际上 只需要考虑这个无穷 可数个 序列中的前面n 项 根据有限序列时的情形 可以证明一个元素x 在规范正交向量序列的前n 项上的投影的长度平方和 k 1 n x e k 2 displaystyle sum k 1 n langle x e k rangle 2 nbsp 小于等于x 的长度平方 这个平方和实际上是正项无穷级数 k x e k 2 displaystyle sum k langle x e k rangle 2 nbsp 的前n 项部分和 所以这个无穷级数收敛 并且其极限 k 1 x e k 2 displaystyle sum k 1 infty langle x e k rangle 2 nbsp 也小于等于x 的长度平方 换句话说 向量序列p n x k 1 n x e k e k displaystyle p n x sum k 1 n langle x e k rangle e k nbsp 在H displaystyle mathcal H nbsp 上收敛 参见 编辑闵可夫斯基空间 柯西不等式 三角不等式 完备空间参考来源 编辑B A 卓里奇 著 蒋铎 钱佩玲 周美珂 邝荣雨 译 数学分析 第二卷 第4版 高等教育出版社 2006 ISBN 978 7 04 020257 1 P R Halmos Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity Chelsea Pub Co 2 edition August 1998 ISBN 978 0 82 181378 2 取自 https zh wikipedia org w index php title 贝塞尔不等式 amp oldid 71150222, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,