貝爾性質

若一個拓樸空間${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle A}$有貝爾性質，或是一個幾乎開集，就表示這集合與開集之間的差為一個貧乏集（英语：meager set）；換句話說，若存在一個開集合${\displaystyle U\subseteq X}$使得${\displaystyle A\bigtriangleup U}$為貧乏集（此處的${\displaystyle \bigtriangleup }$為對稱差），那麼就說${\displaystyle A}$有貝爾性質。^[1]

定義

若一個拓樸空間${\displaystyle X}$ 的子集合${\displaystyle A}$ 是一個有貝爾性質的幾乎開集，那就表示存在一個${\displaystyle U\subseteq X}$ 使得${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ 為貧乏集，此處的${\displaystyle \bigtriangleup }$ 為對稱差；此外^[1]若${\displaystyle A}$ 有限制意義下的貝爾性質的話，就表示說對於任意${\displaystyle X}$ 的子集合${\displaystyle E}$ 而言，${\displaystyle A}$ 跟${\displaystyle E}$ 的交集${\displaystyle A\cap E}$ 相對於${\displaystyle E}$ 有貝爾性質。^[2]

性質

有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代数，也就是說，幾乎開集的補集也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集；^[1]此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。

若一個波蘭空間的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的巴拿赫－馬祖爾遊戲（英语：Banach–Mazur game）是決定的（英语：Determinacy）。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個適當點類（英语：adequate pointclass）${\displaystyle \Gamma }$ 中的所有遊戲都是決定的，那${\displaystyle \Gamma }$ 中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由足夠大的基數推導而出的射影決定性（英语：Axiom of projective determinacy），波蘭空間中所有的射影集（英语：projective set）都有貝爾性質。^[3]

利用選擇公理，可知一些實數的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。^[4]實際上選擇公理就已足以證明這點：根據布尔素理想定理，自然數集合上存在有一個非主理想超濾子，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。^[5]

參見

• 幾乎開映射（英语：Almost open map）
• 贝尔纲定理
• 開集

參考資料

1. Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2 .
2. Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966 .
3. Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264 .
4. Oxtoby (1980), p. 22.
5. Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440 ，可見第64頁的說明。

外部連結

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property （页面存档备份，存于互联网档案馆）