在欧美,角平分線長公式没有特殊的名称。[5][2][7]在中国大陆,内角平分線長公式(i)被称为“斯库顿定理”,归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕(英语:Frans van Schooten)。[1][8][9]而在欧美,范斯霍滕定理(英语:Van Schooten's theorem)指的是等边三角形外接圆的一个性质,与三角形角平分线无关。[10]
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十月 08, 2023
角平分线长公式, 在平面几何中, 角平分線長公式是計算三角形內, 外角平分線長度的公式, 在三角形, displaystyle, triangle, displaystyle, angle, 的内角平分線交对边, displaystyle, 于点, displaystyle, 外角平分線交直线, displaystyle, 于点, displaystyle, 则三角形的内, 外角平分線的长度为, 三角形的内, 外角平分线, displaystyle, sqrt, cdot, cdot, displaystyle, . 在平面几何中 角平分線長公式是計算三角形內 外角平分線長度的公式 在三角形 A B C displaystyle triangle ABC 中 A displaystyle angle A 的内角平分線交对边 B C displaystyle BC 于点 D displaystyle D 外角平分線交直线 B C displaystyle BC 于点 E displaystyle E 则三角形的内 外角平分線的长度为 三角形的内 外角平分线 A D A B A C D B D C displaystyle AD sqrt AB cdot AC DB cdot DC A E E B E C A B A C displaystyle AE sqrt EB cdot EC AB cdot AC 若记 B C displaystyle BC 边长为 a displaystyle a A C displaystyle AC 边长为 b displaystyle b A B displaystyle AB 边长为 c displaystyle c 记内角平分線 A D displaystyle AD 长为 t a displaystyle t a 外角平分線 A E displaystyle AE 长为 t a displaystyle t a 则三角形的内 外角平分線的长度可以表示为 t a b c 1 a 2 b c 2 displaystyle t a sqrt bc 1 a 2 over b c 2 b c b c 2 2 cos A displaystyle bc over b c sqrt 2 2 cos A 2 b c b c cos A 2 displaystyle 2bc over b c cdot cos A over 2 dd t a b c a 2 b c 2 1 displaystyle t a sqrt bc a 2 over b c 2 1 b c b c 2 2 cos A displaystyle bc over b c sqrt 2 2 cos A 2 b c b c sin A 2 displaystyle 2bc over b c cdot sin A over 2 dd 目录 1 证明 1 1 内角平分线长 1 2 外角平分线长 1 3 推导 2 与其他定理的关系 2 1 斯图尔特定理 2 2 施泰纳 莱穆斯定理 3 名称 4 參見 5 参考文献 证明 编辑 三角形ABC以及關於角A的平分線内角平分线长 编辑 作 A displaystyle angle A 的内角平分線交对边 B C displaystyle BC 于点 D displaystyle D 延长 A D displaystyle overline AD 至点 E displaystyle E 使 A E B A C D displaystyle angle AEB angle ACD A E B A C D A E A D A B A C displaystyle triangle AEB sim triangle ACD Rightarrow AE cdot AD AB cdot AC D E B D C A D E A D B D D C displaystyle triangle DEB sim triangle DCA Rightarrow DE cdot AD BD cdot DC A D 2 A E D E A D A E A D D E A D A B A C D B D C displaystyle AD 2 AE DE cdot AD AE cdot AD DE cdot AD AB cdot AC DB cdot DC 得内角平分线长公式 i 1 2 3 A D A B A C D B D C displaystyle AD sqrt AB cdot AC DB cdot DC 外角平分线长 编辑 作 A displaystyle angle A 的外角平分線交直线 B C displaystyle BC 于点 D displaystyle D 延长 D A displaystyle overline D A 至点 E displaystyle E 使 A E B A C D displaystyle angle AE B angle ACD A E B A C D A E A D A B A C displaystyle triangle AE B sim triangle ACD Rightarrow AE cdot AD AB cdot AC D E B D C A D E A D B D D C displaystyle triangle D E B sim triangle D CA Rightarrow D E cdot AD BD cdot D C A D 2 D E A E A D D E A D A E A D D B D C A B A C displaystyle AD 2 D E AE cdot AD D E cdot AD AE cdot AD D B cdot D C AB cdot AC 得外角平分线长公式 i 2 A D D B D C A B A C displaystyle AD sqrt D B cdot D C AB cdot AC 推导 编辑 根据角平分线定理 有 4 D B a c b c D C a b b c displaystyle DB ac over b c DC ab over b c D B a c b c D C a b b c displaystyle D B ac over b c D C ab over b c 代入式 i 得到角平分线长公式 ii 5 3 t a b c 1 a 2 b c 2 displaystyle t a sqrt bc 1 a 2 over b c 2 t a b c a 2 b c 2 1 displaystyle t a sqrt bc a 2 over b c 2 1 将余弦公式代入式 ii 得到角平分线长公式 iii t a b c b c 2 2 cos A displaystyle t a bc over b c sqrt 2 2 cos A t a b c b c 2 2 cos A displaystyle t a bc over b c sqrt 2 2 cos A 将半角公式代入式 iii 得到角平分线长公式 iv 6 t a 2 b c b c cos A 2 displaystyle t a 2bc over b c cdot cos A over 2 t a 2 b c b c sin A 2 displaystyle t a 2bc over b c cdot sin A over 2 与其他定理的关系 编辑 斯图尔特定理 编辑 角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况 或者说推论 根据斯图尔特定理 对于三角形 A B C displaystyle triangle ABC 的任意一边 B C displaystyle BC 上的任意一点 D displaystyle D 有 A D 2 A B 2 D C B C A C 2 D B B C D B D C displaystyle AD 2 AB 2 cdot DC over BC AC 2 cdot DB over BC DB cdot DC 当点 D displaystyle D 是内角平分线足时 根据角平分线定理 有 A B D B A C D C A B A C B C displaystyle AB over DB AC over DC AB AC over BC 联立之后 即可得到内角平分线长公式 i 或 ii 同理 可以推出外角平分线长公式 i 或 ii 5 2 施泰纳 莱穆斯定理 编辑 利用角平分線長公式 可以证明施泰纳 莱穆斯定理 有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形 7 t a t b b c 1 a 2 b c 2 a c 1 b 2 a c 2 displaystyle t a t b Rightarrow sqrt bc 1 a 2 over b c 2 sqrt ac 1 b 2 over a c 2 化简后得到 c a b c a b a b c 2 a b 3 a b c c 3 0 displaystyle c a b c a b a b c 2 ab 3abc c 3 0 连乘的其他各项都为正数 从而推出 a b 0 displaystyle a b 0 名称 编辑 在欧美 角平分線長公式没有特殊的名称 5 2 7 在中国大陆 内角平分線長公式 i 被称为 斯库顿定理 归功于荷兰数学家弗兰斯 范斯霍滕 英语 Frans van Schooten 1 8 9 而在欧美 范斯霍滕定理 英语 Van Schooten s theorem 指的是等边三角形外接圆的一个性质 与三角形角平分线无关 10 參見 编辑 中線長公式 角平分線定理参考文献 编辑 1 0 1 1 孙建斌 Schooten定理的证明 数学教学研究 1986 1 3 6 2 0 2 1 2 2 2 3 别列标尔金 俄语 Perepyolkin Dmitrij Ivanovich 初等几何学教程 上卷 马忠林 译 北京 高等教育出版社 1955 202 204 3 0 3 1 Amarasinghe G W I S On the standard lengths of angle bisectors and the angle bisector theorem PDF Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries 2012 1 1 15 27 2023 06 24 原始内容存档 PDF 于2022 06 18 英语 Heath Thomas L The Thirteen Books of Euclid s Elements PDF II Cambridge Cambridge University Press 1908 197 2023 06 24 原始内容存档 PDF 于2022 02 02 英语 5 0 5 1 5 2 Hadamard Jacques Lecons de geometrie elementaire geometrie plane Paris Armand Colin et Cie 1898 122 125 法语 The angle bisector Formula 2 mathvox com 2023 06 24 原始内容存档于2023 06 17 英语 7 0 7 1 Trigg Charles W Mathematical Quickies New York Dover Publications 1985 103 1967 ISBN 0 486 24949 2 英语 刘运谊 斯库顿定理及其应用 数学教学通讯 1994 6 12 39 黄家礼 几何明珠 北京 科学普及出版社 1997 78 ISBN 7 110 03511 5 Raymond Viglione Proof Without Words van Schooten s Theorem Mathematics Magazine 2016 89 2 132 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 角平分线长公式 amp oldid 77806845, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,