西爾維斯特-高洛伊定理

西爾維斯特–高洛伊定理（Sylvester–Gallai theorem）說明若在平面上有有限數目的點，點的數目多於2，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。（等价于若平面内所有点不全共线，则必有一条直线恰好过两点。）

這個定理在無限點的情況並不成立，可以考慮格點${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }}$。

證明

 

以下使用無窮遞降法：

1. 在平面上有有限多點，若它們都共線，那我們就找到想要的東西；若非，定義一條「連線」為一條連起來至少有兩點的線。設I為一條連線，因為不是所有點都共線，至少有一點P不屬於I。
2. 若I不是有剛好兩點，I便至少有三點，稱為A,B,C。不失一般性，設B在A和C之間，因為${\displaystyle \angle ABP+\angle CBP=\pi }$ ，所以兩隻角不可能同時是鈍角。不失一般性設${\displaystyle \angle ABP}$ 不是鈍角，而是銳角或直角。
3. 設連結C和P的線為m，m是不包括B的連線，而且B和m的距離比P和I的距離小。
4. 以B和m取代第二步的P和I。這個動作不可能無窮次重複，因為若能無窮次重複，連線和某一不在連線上的點距離便會得出一個無窮遞降的序列，但只有有限個點和有限條連線，這是不可能的。因此，至少有一條線剛好有兩點。

推廣

 

Dirac的猜想的反例。

這個定理說明了在所有點至少有一條線有剛好兩點。在甚麼情況下，只有一條線有剛好兩點呢？沒有的這樣的例子。Dirac猜想在平面上若有n點，則有至少有n/2條線有剛好兩點。^[1]

可惜這個猜想是不對的。但截至2006年，已知有兩個反例：

• 一個等邊三角形的三個頂點、各邊的中點和三角形中心，共有7點，但只有三條線有剛好兩點。
• 兩個大小相等的正五邊形，其中一邊重疊。取這兩個五邊形的所有頂點（8點），加上重疊邊的中點（1點），再加上取四組平行線上的無限遠點（4點）。該四組平行線分別是跟重疊邊成0°、90°、+36°和-36°的。在經過這13點的線中，只有6條線有剛好兩點。^[2]

雖然Dirac的猜想不對，但有較弱的結果：在n點中，至少有${\displaystyle \lceil {\frac {6n}{13}}\rceil }$ 條線剛好有兩點通過。^[3]

Beck定理則說明了，存在常數C,K，使以下其中一個論述為真：

• 有一條線有n/C點。
• 至少有n²/K條線，線上至少有兩點。

歷史

1893年，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將此問題提出^[4]。艾狄胥·帕爾也曾在1943年獨立提出這個定理。^[5]1944年高洛伊·蒂博爾（英语：Tibor Gallai）發表了證明^[6]。 不過，1940年E. Melchior已證明了。^[7]

參考

1. Dirac, G. Collinearity properties of sets of points. Quart. J. Math. 1951, 2: 221–227. 
2. Crowe, D. W.; McKee, T. A. Sylvester's problem on collinear points. Mathematics Magazine. 1968, 41 (1): 30–34 [2016-05-02]. （原始内容于2016-10-05）. 
3. Csima, J.; Sawyer, E. There exist 6n/13 ordinary points. Discrete & Computational Geometry. 1993, 9: 187–202. doi:10.1007/BF02189318. 
4. Sylvester, J. J. Mathematical question 11851. Educational Times. 1893, 59: 98. 
5. Erdős, P. Problem 4065. American Mathematical Monthly. 1943, 50: 65 [2016-05-02]. （原始内容于2019-12-20）. 
6. Steinberg, R.; Buck, R. C.; Grünwald, T. (Tibor Gallai); Steenrod, N. E. Three point collinearity (solution to problem 4065). American Mathematical Monthly. 1944, 51: 169–171 [2016-05-02]. （原始内容于2019-12-10）. 
7. Melchior, E. Über Vielseite der projektiven Ebene. Deutsche Math. 1940, 5: 461–475. 

• Borwein, P.; Moser, W. O. J. A survey of Sylvester's problem and its generalizations. Aequationes Mathematicae. 1990, 40 (1): 111–135. doi:10.1007/BF02112289. 
• Kelly, L. M.; Moser, W. O. J. On the number of ordinary lines determined by n points. Canad. J. Math. 1958, 10: 210–219. 
• Mukhopadhyay, A.; Agrawal, A.; Hosabettu, R. M. On the ordinary line problem in computational geometry. Nordic Journal of Computing. 1997, 4 (4): 330–341.