^JM Kubina, MC Wunderlich. Extending Waring's conjecture to 471,600,000 (PDF). Mathematics of Computation. 1, (55): 815–820 [2015-02-14]. doi:10.1090/S0025-5718-1990-1035936-6. (原始内容 (PDF)于2019-11-12).请检查|date=中的日期值 (帮助)
维基文库中相关的原始文献:Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)
行進 29, 2023
華林問題, 此條目需要擴充, 2013年2月14日, 请協助改善这篇條目, 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到, 请在擴充條目後將此模板移除, 此條目內容疑欠准确, 有待查證, 2015年2月15日, 請在讨论页討論問題所在及加以改善, 若此條目仍有爭議及准确度欠佳, 會被提出存廢討論, 未解決的數學問題, 對於每個非1的正整數k, 皆存在正整數g, 使得每個正整數都可以表示為至多g, 個k次方數, 即正整數的k次方, 之和, 华林问题, 英語, waring, problem, 是数论中的问题之一, 1. 此條目需要擴充 2013年2月14日 请協助改善这篇條目 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到 请在擴充條目後將此模板移除 此條目內容疑欠准确 有待查證 2015年2月15日 請在讨论页討論問題所在及加以改善 若此條目仍有爭議及准确度欠佳 會被提出存廢討論 未解決的數學問題 對於每個非1的正整數k 皆存在正整數g k 使得每個正整數都可以表示為至多g k 個k次方數 即正整數的k次方 之和 华林问题 英語 Waring s problem 是数论中的问题之一 1770年 爱德华 华林猜想 对于每个非1的正整数k 皆存在正整数g k 使得每个正整数都可以表示为至多g k 个k次方数 即正整數的k次方 之和 目录 1 與四平方和定理之關係 2 华林猜想 3 研究进展 4 更强的问题 5 其他推廣 5 1 华林 哥德巴赫问题 5 2 表法数问题 5 3 不限于正整数 6 参考资料與四平方和定理之關係 编辑在三世纪時 数学家丢番图首先提出 是否每一個正整數都是四個平方數之和 的問題 1730年 欧拉開始研究該問題 但未得出證明 1 第一个給出完整证明的是拉格朗日 他的证明用了欧拉的一个公式 a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 y 2 z 2 w 2 a x b y c z d w 2 a y b x c w d z 2 a z b w c x d y 2 a w b z c y d x 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 y 2 z 2 w 2 ax by cz dw 2 ay bx cw dz 2 az bw cx dy 2 aw bz cy dx 2 後來歐拉也給出另一證明 1 华林猜想 编辑1770年 华林发表了 代数沉思录 Meditationes Algebraicae 其中说 每一个正整数至多是9个立方数之和 至多是19个四次方之和 1 还猜想 每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和 其中r依赖于k 研究进展 编辑1909年 大卫 希尔伯特首先用复杂的方法证明了g k 的存在性 1943年 U V 林尼克给出了关于g k 存在性的另一个证明 然而 尽管g k 的存在性已被证明 人们尚且无法知晓g k 与k之间的关系 华林自己推测g 2 4 g 3 9 g 4 19 1770年 拉格朗日证明了四平方和定理 指出g 2 4 1909年亚瑟 韦伊费列治证明了g 3 9 1859年 刘维尔证明了g 4 lt 53 他的想法是借助一个恒等式 Liouville polynomial identity 6 n 2 6 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 2 i lt j x i y j 4 i lt j x i y j 4 displaystyle 6n 2 6 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 2 sum i lt j left x i y j right 4 sum i lt j left x i y j right 4 後來哈代和李特尔伍德得到g 4 lt 21 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g 4 19 1896年马力特得到g 5 lt 192 1909年韦伊费列治将结果改进为g 5 lt 59 1964年陈景润证明了g 5 37 2 事实上 莱昂哈德 欧拉之子J A 欧拉猜想 g k 2 k 3 2 k 2 displaystyle g k 2 k lfloor 3 2 k rfloor 2 q displaystyle lfloor q rfloor 表示对 q 向下取整 也就是只要看小於3k的正整數當中 最多只需要幾個k次方數的和 就可以了 例如k 4的情形 小於81的數字當中 最多的就是79 需要19個四次方數 因此有g 4 19 至1990年 对于6 lt k lt 471600000此式已经被计算机验证为正确 3 更强的问题 编辑由于g k 的值严重依赖于正整数较小时的情况 來源請求 人们提出了一个更强的问题 求对于每个充分大的正整数 可使它们分解为k次方数的个数G k 此问题进展较慢 至今G 3 仍无法确定 其他推廣 编辑华林 哥德巴赫问题 编辑 陳述 對於任何一個正整數n 是否存在一個數k 使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和 此問題在1938年已被華羅庚證明成立 表法数问题 编辑 任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和 进一步 给定一个正整数 表示成为四个平方数的不同表示法有多少种 這問題已由雅可比給出了解答 但是 对于立方和 四次方和等等的情況 仍然非常困难 來源請求 不限于正整数 编辑 考虑用有理数的方幂和来表示正有理数 参考资料 编辑 1 0 1 1 1 2 吳振奎 幾個與 形數 有關的問題 PDF 數學傳播 2005年3月 29 1 64 74 2015 02 15 原始内容存档 PDF 于2016 03 04 Weisstein Eric W 编 Waring s Problem at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 JM Kubina MC Wunderlich Extending Waring s conjecture to 471 600 000 PDF Mathematics of Computation 1 55 815 820 2015 02 14 doi 10 1090 S0025 5718 1990 1035936 6 原始内容存档 PDF 于2019 11 12 请检查 date 中的日期值 帮助 维基文库中相关的原始文献 Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen Waringsches Problem 取自 https zh wikipedia org w index php title 華林問題 amp oldid 75519556, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,