四平方和定理, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年7月14日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 英語, lagrange, four, square, theorem, 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和, 它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例, 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和, 例如7, 目录, 历史, 證明, 證明, uniq, postmath, 0000000c, qinu, 不會是偶數, 證明, uni. 此條目没有列出任何参考或来源 2019年7月14日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 四平方和定理 英語 Lagrange s four square theorem 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和 它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和 例如7 目录 1 历史 2 證明 2 1 證明 UNIQ postMath 0000000C QINU 不會是偶數 2 2 證明 UNIQ postMath 00000016 QINU 2 3 引理一的證明历史 编辑1743年 瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式 a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 y 2 z 2 w 2 a x b y c z d w 2 a y b x c w d z 2 a z b w c x d y 2 a w b z c y d x 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 x 2 y 2 z 2 w 2 ax by cz dw 2 ay bx cw dz 2 az bw cx dy 2 aw bz cy dx 2 根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数m displaystyle m 和n displaystyle n 能表示为4个整数的平方和 则其乘积m n displaystyle mn 也能表示为4个整数的平方和 于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可 1751年 欧拉又得到了另一个一般的结果 即对任意奇素数 p 同余方程x 2 y 2 1 0 mod p displaystyle x 2 y 2 1 equiv 0 pmod p 必有一组整数解x y满足0 x lt p 2 displaystyle 0 leq x lt frac p 2 0 y lt p 2 displaystyle 0 leq y lt frac p 2 引理一 至此 证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕 此后 拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明 證明 编辑根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理 可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可 2 1 2 1 2 displaystyle 2 1 2 1 2 因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和 根據引理一 奇質數p displaystyle p 必有正倍數可以表示成四个整数的平方和 在這些倍數中 必存在一個最小的 設該數為m 0 p displaystyle m 0 p 又從引理一可知m 0 lt p displaystyle m 0 lt p 證明m 0 displaystyle m 0 不會是偶數 编辑 設m 0 displaystyle m 0 是偶數 且m 0 p x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 displaystyle m 0 p x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同 不失一般性設x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 的奇偶性相同 x 3 x 4 displaystyle x 3 x 4 的奇偶性相同 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 4 displaystyle x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 4 均為偶數 可得出公式 m 0 p 2 x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 2 2 x 3 x 4 2 2 x 3 x 4 2 2 displaystyle frac m 0 p 2 left frac x 1 x 2 2 right 2 left frac x 1 x 2 2 right 2 left frac x 3 x 4 2 right 2 left frac x 3 x 4 2 right 2 m 0 2 lt m 0 displaystyle frac m 0 2 lt m 0 與m 0 displaystyle m 0 是最小的正整數使得的假設m 0 p displaystyle m 0 p 可以表示成四个整数的平方和不符 證明 m 0 1 displaystyle m 0 1 编辑 現在用反證法證明m 0 1 displaystyle m 0 1 設m 0 gt 1 displaystyle m 0 gt 1 m 0 displaystyle m 0 不可整除x i displaystyle x i 的最大公因數 否則m 0 2 displaystyle m 0 2 可整除m 0 p displaystyle m 0 p 則得m 0 displaystyle m 0 是p displaystyle p 的因數 但1 lt m 0 lt p displaystyle 1 lt m 0 lt p 且p為質數 矛盾 故存在不全為零 絕對值小於1 2 m 0 displaystyle frac 1 2 m 0 注意m 0 displaystyle m 0 是奇數在此的重要性 整數的y 1 y 2 y 3 y 4 displaystyle y 1 y 2 y 3 y 4 使得 y i x i mod m 0 displaystyle y i x i pmod m 0 0 lt y i 2 lt 4 1 2 m 0 2 m 0 2 displaystyle 0 lt sum y i 2 lt 4 frac 1 2 m 0 2 m 0 2 y i 2 x i 2 0 mod m 0 displaystyle sum y i 2 equiv sum x i 2 equiv 0 pmod m 0 可得 y i 2 m 0 m 1 displaystyle sum y i 2 m 0 m 1 其中m 1 displaystyle m 1 是正整數且小於m 0 displaystyle m 0 下面證明m 1 p displaystyle m 1 p 可以表示成四个整数的平方和 從而推翻假設 令 z i 2 y i 2 x i 2 displaystyle sum z i 2 sum y i 2 times sum x i 2 根据四平方和恆等式可知z i displaystyle z i 是m 0 displaystyle m 0 的倍數 令z i m 0 t i displaystyle z i m 0 t i z i 2 y i 2 x i 2 displaystyle sum z i 2 sum y i 2 times sum x i 2 m 0 2 t i 2 m 0 m 1 m 0 p displaystyle m 0 2 sum t i 2 m 0 m 1 m 0 p t i 2 m 1 p lt m 0 p displaystyle sum t i 2 m 1 p lt m 0 p 矛盾 引理一的證明 编辑 將和為p 1 displaystyle p 1 的剩餘兩個一組的分開 可得出p 1 2 displaystyle frac p 1 2 組 分別為 0 p 1 1 p 2 p 1 2 p 1 2 displaystyle 0 p 1 1 p 2 frac p 1 2 frac p 1 2 將模p displaystyle p 的二次剩餘有p 1 2 displaystyle frac p 1 2 個 分別為0 1 2 2 2 p 1 2 2 displaystyle 0 1 2 2 2 frac p 1 2 2 若p 1 2 displaystyle frac p 1 2 是模p displaystyle p 的二次剩餘 選取x lt p 2 displaystyle x lt frac p 2 使得x 2 p 1 2 displaystyle x 2 equiv frac p 1 2 則1 x 2 x 2 0 mod p displaystyle 1 x 2 x 2 equiv 0 pmod p 定理得證 若p 1 2 displaystyle frac p 1 2 不屬於模p displaystyle p 的二次剩餘 則剩下p 1 2 displaystyle frac p 1 2 組 分別為 0 p 1 1 p 2 p 3 2 p 1 2 displaystyle 0 p 1 1 p 2 frac p 3 2 frac p 1 2 而模p displaystyle p 的二次剩餘仍有p 1 2 displaystyle frac p 1 2 個 由於 p 1 2 gt p 1 2 displaystyle frac p 1 2 gt frac p 1 2 根據抽屜原理 存在1 x 2 y 2 0 mod p displaystyle 1 x 2 y 2 equiv 0 pmod p 取自 https zh wikipedia org w index php title 四平方和定理 amp oldid 65239273, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,