^Anderson, E.; Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Dongarra, J.; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D. LAPACK Users' Guide Third. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1999. ISBN 0-89871-447-8.引文使用过时参数coauthors (帮助)
四月 22, 2023
舒尔分解, 在线性代数中, 或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法, 得名于德国数学家伊沙海, 舒爾, 英语, issai, schur, 目录, 定理的陈述, 定理的证明, 以线性变换思想, 以矩阵思想, 计算, 广义, 参考文献定理的陈述, 编辑定理表明, 如果a是n阶的复方阵, 则存在n阶么正矩阵q, n阶上三角矩阵u, 使得, displaystyle, 即任何一个n阶复方阵a酉相似于一个n阶上三角矩阵u, 因为a, u相似, 所以两者有相同的特征值, 且相同特征值的代数重数也相同, 又因u是上三角矩阵, 所以u. 在线性代数中 舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法 得名于德国数学家伊沙海 舒爾 英语 Issai Schur 目录 1 定理的陈述 2 定理的证明 2 1 以线性变换思想 2 2 以矩阵思想 3 计算 4 广义舒尔分解 5 参考文献定理的陈述 编辑舒尔分解定理表明 如果A是n阶的复方阵 则存在n阶么正矩阵Q n阶上三角矩阵U 使得 1 2 3 A Q U Q H displaystyle A QUQ H 即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U 因为A U相似 所以两者有相同的特征值 且相同特征值的代数重数也相同 又因U是上三角矩阵 所以U的对角元素实际上是A的所有特征值 该定理表明 存在Cn的一个线性子空间序列 0 V0 V1 Vn Cn 使得其中的每一个都是A 看成线性变换 的不变子空间 且存在Cn 指定标准内积 的一组单位酉正交基 使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间 1 定理的证明 编辑以线性变换思想 编辑 把矩阵A看成是有限维酉空间Cn上的线性变换 它有特征值l 所对应的特征子空间为Vl 令Vl 为它的正交补空间 分别取两个空间的一组单位正交基 Z1 Z2 它们构成原空间的一组单位正交基 则线性变换A在这组基下的矩阵表出为 Z 1 Z 2 A Z 1 Z 2 l I l A 12 0 A 22 V l V l V l V l displaystyle begin bmatrix Z 1 amp Z 2 end bmatrix A begin bmatrix Z 1 amp Z 2 end bmatrix begin bmatrix lambda I lambda amp A 12 0 amp A 22 end bmatrix begin matrix V lambda oplus V lambda perp end matrix rightarrow begin matrix V lambda oplus V lambda perp end matrix 而A22又可以看成是Vl 上的线性变换 又可以重复上述过程 本质上 A22是A在商空间Cn Vl上引入的线性变换 所以最终可以找到Cn的一组基 使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵 1 2 以矩阵思想 编辑 上述证明过程也可以用矩阵的语言复述 对n阶矩阵采用数学归纳法 k 1 显然命题成立 若任何一个n 1阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵 则对一个n阶矩阵 它有特征值l1 对应特征向量b 将b扩充为Cn的一组单位正交基 并排列成矩阵V1 则有 V 1 1 A V 1 l 1 0 A 1 displaystyle V 1 1 AV 1 begin bmatrix lambda 1 amp 0 amp A 1 end bmatrix dd 根据归纳假设 存在n 1阶酉矩阵V2和上三角矩阵T 使得 V 2 1 A 1 V 2 T displaystyle V 2 1 A 1 V 2 T dd 所以有 1 0 0 V 2 1 l 1 0 A 1 1 0 0 V 2 l 1 0 T displaystyle begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix 1 begin bmatrix lambda 1 amp 0 amp A 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix begin bmatrix lambda 1 amp 0 amp T end bmatrix dd 即 V 1 1 0 0 V 2 1 A V 1 1 0 0 V 2 l 1 0 T displaystyle V 1 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix 1 A V 1 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix begin bmatrix lambda 1 amp 0 amp T end bmatrix dd 令U V 1 1 0 0 V 2 displaystyle U V 1 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix 显然它是酉矩阵 由归纳假设 原命题成立 4 3 dd 计算 编辑给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出 换言之 为求解矩阵的舒尔分解 并没有必要求解其特征多项式的根 另一方面 通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解 可以计算出它的所有根 类似地 通过舒尔分解 也可以计算给定矩阵的特征值 5 广义舒尔分解 编辑给定矩阵A和B 则存在酉矩阵Q Z 上三角矩阵S T 使得A Q S Z 1 displaystyle A QSZ 1 和B Q T Z 1 displaystyle B QTZ 1 同时成立 这被称为广义舒尔分解 有时也被称为QZ分解 2 广义特征值问题d e t A l B 0 displaystyle det A lambda B 0 的解是S T对应的对角元的比值 即l i S i i T i i displaystyle lambda i S ii T ii 2 参考文献 编辑 1 0 1 1 1 2 Horn R A and Johnson C R Matrix Analysis Cambridge University Press 1985 ISBN 0 521 38632 2 Section 2 3 and further at p 79 2 0 2 1 2 2 2 3 Golub G H and Van Loan C F Matrix Computations 3rd Johns Hopkins University Press 1996 ISBN 0 8018 5414 8 Section 7 7 at p 313 3 0 3 1 矩阵论 第四章 第五节 Schur定理与正规矩阵 丘维声 高等代数学习指导 上册 清华大学出版社 2005 p352 ISBN 978 7 302 10975 4 引文格式1维护 冗余文本 link Anderson E Bai Z Bischof C Blackford S Demmel J Dongarra J Du Croz J Greenbaum A Hammarling S McKenney A Sorensen D LAPACK Users Guide Third Philadelphia PA Society for Industrial and Applied Mathematics 1999 ISBN 0 89871 447 8 引文使用过时参数coauthors 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 舒尔分解 amp oldid 66021085, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,