自守形式

數學上所謂的自守形式（英語：Automorphic form），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義

設 ${\displaystyle \Gamma }$  為作用於複區域 ${\displaystyle D}$  的離散群。取定自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)}$  及權 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 。相應的權 ${\displaystyle m}$  自守形式是 ${\displaystyle D}$  上滿足下述函數方程的全純函數

${\displaystyle j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma }$ 。

自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x)}$  當 ${\displaystyle \gamma }$  固定時是 ${\displaystyle D}$  上的全純函數，並且是 ${\displaystyle \Gamma }$  上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數 ${\displaystyle f}$  可推廣成取值為矩陣的函數；權 ${\displaystyle m}$  的限制亦可放鬆，例如半整數 ${\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ 。

群上的定義

自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}$ ，其中心可等同於 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ 。

考慮整體域 ${\displaystyle F}$ （例如 ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ），由此定義 ${\displaystyle G}$  的阿代爾點 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ ，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 ${\displaystyle K}$ 。

固定一擬特徵 ${\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ 。以 ${\displaystyle \omega }$ 為中心特徵的自守形式定為 ${\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})}$  上滿足下列條件的複值函數 ${\displaystyle f}$ ：

1. ${\displaystyle f}$  光滑：若 ${\displaystyle F}$  為函數域，這代表 ${\displaystyle f}$  是局部常數函數。否則意謂存在一組 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$  的開覆蓋 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，對每個 ${\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}$ ，${\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}$ ，而 ${\displaystyle f_{U}}$  無窮可微。
2. 对任何${\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}}$  及任何 ${\displaystyle h}$ ，总有 ${\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)}$ 。
3. ${\displaystyle f}$  右 ${\displaystyle K}$ -有限：函數 ${\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)}$  張成有限維向量空間。
4. 承上，設 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$  為泛包絡代數 ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))}$  之中心，則 ${\displaystyle f}$  為 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$ -有限。
5. 緩增性：固定適當的高度函數 ${\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}$ （取法不影響定義），存在常數 ${\displaystyle C}$  及 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$  使得 ${\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}$ 。

註記. 若 ${\displaystyle v}$  是 ${\displaystyle F}$  的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})}$  的作用 ${\displaystyle f\mapsto Xf}$  下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有 ${\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)}$  皆有

${\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}$ 

則稱 ${\displaystyle f}$  為尖點形式。

自守表示

定義 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  為中心特徵為 ${\displaystyle \omega }$  的自守形式集，子空間 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })}$  的表示；對阿基米德賦值則帶有 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$  的表示。注意：它們並非 ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$  的表示！

一個自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$ -模 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  之子商，${\displaystyle \omega }$  稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$  之子空間。

参考文献

• A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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