函数方程

函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。

例子

• 函数方程

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$ 

的解是黎曼ζ函數。

• 函数方程

${\displaystyle \Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!}$ 

的解是伽玛函数。

• 函数方程

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!}$ 

的解是伽玛函数。

• 更多例子：

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$ 的解是所有指数函数。

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$ 的解是所有对数函数。

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$  (柯西函数方程)

${\displaystyle F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!}$  (庞加莱方程)

${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$  (琴生)

${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!}$  (达朗贝尔)

${\displaystyle f(h(x))=f(x)+1\,\!}$ （阿贝尔方程（英语：Abel equation））。

解函数方程

函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}}$ 。

设${\displaystyle x=y=0}$ ：${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}}$ 。所以${\displaystyle f(0)^{2}=0}$ ，${\displaystyle f(0)=0}$ 。

现在，设${\displaystyle y=-x}$ ：

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$ 

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$ 

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$ 

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x，${\displaystyle f(x)^{2}=0}$ ，所以${\displaystyle f(x)=0}$ 是唯一的解。

相關條目

• 貝爾曼方程
• 动态规划
• 隐函数
• 函數方程 (L函數)（英语：Functional equation (L-function)）