維格納半圓分布

維格納半圓分布是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函數圖型是一半橢圓形。

維格納半圓分布

概率密度函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle R>0\!}$ radius (real)
值域	${\displaystyle x\in [-R;+R]\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!}$ for ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$
期望值	${\displaystyle 0\,}$
中位數	${\displaystyle 0\,}$
眾數	${\displaystyle 0\,}$
方差	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}\!}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle -1\,}$
熵	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,}$
矩生成函数	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
特徵函数	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}$

for −R ≤ x ≤ R, and f(x) = 0 if R < |x|.

此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣，其特徵值(Eigenvalues) 的分布限制範圍。

它是一個經過縮放的Β分布(Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分布(α = β = 3/2)時，則其X = 2RY – R值具備上述分佈特性。

性質

第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數n，此分佈之第2n項動差(Moment)為：

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$ 

此處 X是一隨機變數，而C_n是第n項 卡塔蘭數(Catalan number)：

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,}$ 

因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係，所有奇數項之動差皆為0)

若以 ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$  替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta }$ 

並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18) （页面存档备份，存于互联网档案馆）：

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$ 

式中的 ${\displaystyle I_{1}(z)}$  是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地，其特徵方程式：

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$ 

其中的 ${\displaystyle J_{1}(z)}$  是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20) （页面存档备份，存于互联网档案馆）。若取一有限且接近0的實數 ${\displaystyle R}$ ，則維格納半圓分布成為一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

${\displaystyle \left\{\left(r^{2}-x^{2}\right)f'(x)+xf(x)=0,\ f(1)={\frac {2{\sqrt {r^{2}-1}}}{\pi r^{2}}}\right\}}$ 

與非古典機率的關係

在 非古典機率 (free probability) 理論中，維格納半圓分布有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。 也就是說，在非古典機率中，累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

參看

• The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
• In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
• Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

參考

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

相關連結

• Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle （页面存档备份，存于互联网档案馆）