終端速度

在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是終端速度。

向下的重力（F_g）相等於向上的阻力（F_d）。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。

當向下的重力（F_g）相等於向上的阻力（F_d）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變^[1]。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（${\displaystyle mg}$）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

例子

舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為195km/h（55m/s）^[2]。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢拉起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至320km/h（90m/s）^[2]，幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告^[3] 。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下，速度為988km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小^[2] 。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6km/h，是目前的世界紀錄保持人。^[4]

一向着地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s^-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有着大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有着更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$ 

其中

${\displaystyle V_{t}}$ 為終端速度，

${\displaystyle m}$ 為物體重量，

${\displaystyle g}$ 為地球所引起的加速度，

${\displaystyle C_{d}}$ 為阻力係數，

${\displaystyle \rho }$ 為物體落下時所處的流體密度，

${\displaystyle A}$ 為物體的投影面積。

數學上，一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量${\displaystyle m}$ 必須減去所排開的流體質量${\displaystyle \rho {\mathcal {V}}}$ ，其中${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ 為物體的體積。所以不使用${\displaystyle m}$ ，在各方程中改用約化質量${\displaystyle m_{r}=m-\rho {\mathcal {V}}}$ 。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨着海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

終端速度的推導

數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力F_net為（根據牛頓第二運動定律）：

${\displaystyle F_{net}=ma=mg-F_{D}}$ 。

其中： a為加速度， F_D為阻力。

根據阻力公式：

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A}$ 。

將上兩式結合可得

${\displaystyle F_{net}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }}$ 。

在平衡時，淨力為零（F=0）：

${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }=0\ }$ 。

解v可得，

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{\mathrm {d} }}}}\ }$ 。

速度v作為時間t函數解的推導

阻力方程為 ${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }}$ 。 取'k = ^1⁄2ρACd，此時方程的形式較為實用。 兩邊一起除以m得 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g-{\frac {kv^{2}}{m}}}$ 。 整理方程得 ${\displaystyle dt={\frac {\mathrm {d} v}{g-{\frac {kv^{2}}{m}}}}}$ 。 取兩邊積分得 ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t^{\prime }}=\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v^{\prime }}{g-{\frac {kv^{\prime 2}}{m}}}}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v^{\prime }}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}}$ ， 其中α = ( ^k⁄mg )^1⁄2. 積分後，得 ${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^{\prime }) \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v^{\prime })}{2\alpha }}+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v^{\prime }}{1-\alpha v^{\prime }}} \over 2\alpha }+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v},}$  或簡化形式 ${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}\ .}$  反雙曲正切函數（arctanh）的定義為: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}=\mathrm {arctanh} (\alpha v)}$ . 故方程解的積分為 ${\displaystyle t={\frac {\mathrm {arctanh} (\alpha v)}{\alpha g}}}$ ， 上式可簡化成 ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v}$ ， 其中tanh為雙曲正切函數。設g為正數（它的定義確實是正數），然後把α的值代入，得 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\tanh \left({\sqrt {\frac {k}{mg}}}gt\right)}$ ， 代入k = ^1⁄2ρACd，得v所需的形式 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right)}$ ， 當時間趨向無限（t → ∞），雙曲正切趨向1，得終端速度 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$ 。

由能量守恒推導
能量守恒方程为 ${\displaystyle mgh=kv^{2}h+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 。 分离v得到 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {mgh}{kh+{1 \over 2}m}}}\ }$ 。 当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞ ， 故以上式子取极限得 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\ }$ 。

有浮力情況下的終端速度

當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

${\displaystyle \quad (1)\qquad W=F_{b}+D}$ 

其中

${\displaystyle W}$ 為物體的重量，

${\displaystyle F_{b}}$ 為作用於物體上的浮力，及

${\displaystyle D}$  為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：

${\displaystyle \quad (2)\qquad W={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g}$ 

${\displaystyle \quad (3)\qquad F_{b}={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho g}$  ${\displaystyle }$

${\displaystyle \quad (4)\qquad D=C_{d}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A}$ 

其中

${\displaystyle d}$ 為球體的直徑，

${\displaystyle g}$ 為重力加速度，

${\displaystyle \rho }$ 為流體的密度，

${\displaystyle \rho _{s}}$ 為球體的密度，

${\displaystyle A=\pi d^{2}/4}$ 為球體投影面積，

${\displaystyle C_{d}}$ 阻力係數，及

${\displaystyle V}$ 為特徵速度（即終端速度，${\displaystyle V_{t}}$ ）。

將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解${\displaystyle V_{t}}$ 的值，得下式：

${\displaystyle \quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}}$ 。

蠕流下的終端速度

 

蠕流流過球體示意圖：流線、阻力F_d及重力F_g

對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數${\displaystyle Re\ll 1}$ 的條件。蠕流的運動方程（簡化後的納維-斯托克斯方程）如下：

${\displaystyle \nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$ 

其中：

${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ 為速度向量場，

${\displaystyle p}$ 為壓力場，及

${\displaystyle \mu }$  為流體黏度。

流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

${\displaystyle \quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad }$  或 ${\displaystyle \qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}}$ 

其中雷諾數${\displaystyle Re={\tfrac {\rho dV}{\mu }}}$ 。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。

把${\displaystyle C_{d}}$ 的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right)}$ 。

應用

蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。

另見

• 斯托克斯定律
• 自由落體

参考文献

1. . 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center. [2009-03-04]. （原始内容存档于2009-02-23）. （英文）
2. Huang, Jian. 跳傘者的速度（終端速度）. The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999 [2017-02-24]. （原始内容于2020-11-24）. （英文）
3. The Ballistician. . W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. （原始内容存档于2008-03-31）. 
4. 奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘. BBC中文網. 2012-10-14 [2012-10-14]. （原始内容于2012-10-19）. 

外部連結

• ——美國太空總署頁面（英文）
• 終端速度與物體的大小尺度 （页面存档备份，存于互联网档案馆）物理動畫