^Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.
十月 08, 2023
格林恆等式, green, identities, 乃是向量分析的一組共三條恆等式, 以發現格林定理的英國數學家喬治, 格林命名, 目录, 格林第一恆等式, 格林第二恆等式, 格林第三恆等式, 參閱, 參考文獻格林第一恆等式, 编辑設定向量場f, displaystyle, mathbf, nabla, nbsp, 其中, 在r, displaystyle, mathbb, nbsp, 的某區域u, displaystyle, mathbb, nbsp, displaystyle, nbsp, 是二次連續可微標量函. 格林恆等式 Green s identities 乃是向量分析的一組共三條恆等式 以發現格林定理的英國數學家喬治 格林命名 目录 1 格林第一恆等式 2 格林第二恆等式 3 格林第三恆等式 4 參閱 5 參考文獻格林第一恆等式 编辑設定向量場F ps ϕ displaystyle mathbf F psi nabla phi nbsp 其中 在R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp 的某區域U displaystyle mathbb U nbsp 內 ϕ displaystyle phi nbsp 是二次連續可微標量函數 ps displaystyle psi nbsp 是一次連續可微標量函數 則從散度定理 U F d V U F n d S displaystyle int mathbb U nabla cdot mathbf F mathrm d V oint partial mathbb U mathbf F cdot mathbf n mathrm d S nbsp 可以推導出格林第一恆等式 1 U ps 2 ϕ ϕ ps d V U ps ϕ n d S displaystyle int mathbb U psi nabla 2 phi nabla phi cdot nabla psi mathrm d V oint partial mathbb U psi partial phi over partial n mathrm d S nbsp 其中 U displaystyle partial mathbb U nbsp 是區域U displaystyle mathbb U nbsp 的邊界 n displaystyle frac partial partial n nbsp 是取於邊界面 U displaystyle partial mathbb U nbsp 的法向導數 即 ϕ n ϕ n displaystyle frac partial phi partial n nabla phi cdot mathbf n nbsp 格林第二恆等式 编辑假若在區域U displaystyle mathbb U nbsp 內 ϕ displaystyle phi nbsp 和ps displaystyle psi nbsp 都是二次連續可微 則可交換ϕ displaystyle phi nbsp 與ps displaystyle psi nbsp 從 ps ϕ displaystyle psi phi nbsp 的格林第一恆等式得到 ϕ ps displaystyle phi psi nbsp 的格林第一恆等式 將這兩個恆等式相減 則可得到格林第二恆等式 U ps 2 ϕ ϕ 2 ps d V U ps ϕ n ϕ ps n d S displaystyle int mathbb U left psi nabla 2 phi phi nabla 2 psi right mathrm d V oint partial mathbb U left psi partial phi over partial n phi partial psi over partial n right mathrm d S nbsp 格林第三恆等式 编辑假設函數G displaystyle G nbsp 是拉普拉斯方程式的基本解 fundamental solution 2 G x x d x x displaystyle nabla 2 G mathbf x mathbf x delta mathbf x mathbf x nbsp 其中 d x x displaystyle delta mathbf x mathbf x nbsp 是狄拉克d函數 例如 在R3 基本解的形式為 G x x 1 4 p x x displaystyle G mathbf x mathbf x 1 over 4 pi mathbf x mathbf x nbsp 函數G displaystyle G nbsp 稱為格林函數 對於變數x displaystyle mathbf x nbsp 與x displaystyle mathbf x nbsp 的交換 格林函數具有對稱性 即G x x G x x displaystyle G mathbf x mathbf x G mathbf x mathbf x nbsp 設定ϕ G displaystyle phi G nbsp 在區域U displaystyle mathbb U nbsp 內 ps displaystyle psi nbsp 是二次連續可微 假若x displaystyle mathbf x nbsp 在積分區域U displaystyle mathbb U nbsp 內 則應用狄拉克d函數的定義 ps x U G x x 2 ps x d V U ps x G x x n G x x ps x n d S displaystyle psi mathbf x int mathbb U left G mathbf x mathbf x nabla 2 psi mathbf x right mathrm d V oint partial mathbb U left psi mathbf x partial G mathbf x mathbf x over partial n G mathbf x mathbf x partial psi mathbf x over partial n right mathrm d S nbsp 其中 d V displaystyle dV nbsp d S displaystyle dS nbsp 分別積分x displaystyle mathbf x nbsp 於U displaystyle mathbb U nbsp 這是格林第三恆等式 假若ps displaystyle psi nbsp 是調和函數 即拉普拉斯方程式的解 2 ps x 0 displaystyle nabla 2 psi mathbf x 0 nbsp 則這恆等式簡化為 ps x U ps x G x x n G x x ps x n d S displaystyle psi mathbf x oint partial mathbb U left psi mathbf x partial G mathbf x mathbf x over partial n G mathbf x mathbf x partial psi mathbf x over partial n right mathrm d S nbsp 參閱 编辑向量恆等式列表 數學恆等式列表 List of mathematical identities 向量微積分恆等式 Vector calculus identities 參考文獻 编辑 Strauss Walter Partial Differential Equations An Introduction Wiley 取自 https zh wikipedia org w index php title 格林恆等式 amp oldid 39148092 格林第二恆等式, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,