柯里悖论

柯里悖论（Curry's paradox)^[1]是一种悖论，由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里提出，并且以其命名。它也與马丁·雨果·洛布（英语：Martin Löb）的洛布定理（英语：Löb's theorem）有关，故也被称为洛布悖论。^[2]

简介

对于这样一个条件语句 C：「若C，則F」, 只需要一些显然无害的逻辑推导规则， 就可以推导出：仅从句子C的存在就证明了任意主张F。由于F是任意的，因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题, 这就引起矛盾（见：柯里悖论#自然语言论证）, 违反了经典逻辑的无矛盾律；因此，这是一个悖论。

当今哲学家所使用的“柯里悖论”一词，指的是一类多样化的悖论，具有自指性（self-reference）或循环性（circularity），并且其悖论根源的发现可追溯到柯里（1942）^[3]和洛布（1955）^[4]的贡献。

该悖论可以用自然语言和各种形式逻辑来表达，包括集合论、λ演算和组合逻辑的某些形式。所有可以称为“柯里悖论”的悖论共同特征是，它们以连接词或谓词形式利用蕴涵，蕴含或结果的概念。^[1]

分类

弗兰克·普伦普顿·拉姆齐于1925年最早把逻辑悖论（Logical Paradox）同语义悖论（Semantical Paradox）区别开来。罗素悖论属于前一类，说谎者悖论属于后者。^[5] 拉姆齐认为，逻辑矛盾涉及数学或逻辑术语(例如类，数)，因此表明存在逻辑问题。而语义矛盾除纯逻辑术语外还涉及“思想”，“语言”，“符号”等概念, 它们是经验性(非形式)术语。语义矛盾也被称为认识论矛盾。 该方法被认为是当前的标准的悖论分类方法。^[6]

柯里悖论可以像罗素悖论一样，以集合论或属性论的悖论的形式出现（即逻辑悖论的形式); 但是，它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。^[1]

特性

柯里悖论产生的根源和柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论类似，是违反了恶性循环原则（英语：Vicious-Circle Principle）^[7],具有自指性。 ^[8] 但也与柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论有不同的特点，因为它本质上并没有涉及否定的概念。 ^[1]

需要强调，因为柯里悖论并不在“本质上涉及否定”, 它与罗素悖论和说谎者悖论有实质性不同。一些具有弱否定原理的非经典逻辑（如次协调逻辑），可以解决罗素悖论和说谎者悖论，但仍然容易受到柯里悖论的影响。

自然语言论证

条件命题形式为:

“如果A，则B”

证明条件命题（命题形式为：“如果A，那么B”）的标准方法称为“条件证明”。 在该证明方法中，为了证明“如果A，则B”，1） 首先假设A，2) 然后在该假设下B被证明是正确的。

柯里悖论使用一种特殊的自指条件命题（self-referential conditional sentence），如以下示例所示：

句子X为：“如果X，则Y”。

按上面标准方法(“条件证明”)，证明条件命题X时， 首先假设X成立， 由条件命题本身“如果X，则Y”， 则 “Y”成立； 因此推导出，X成立。 由于“Y”是任意的， 也可以用任何其他命题代替，因此，仅使用公认的逻辑推理方法，每个命题似乎都是可以证明的。不但可以证明Y，亦可以证明¬Y，这种情况是自相矛盾的。

另一个例子如下： 

如果这句话是正确的，那么德国与中国接壤。

尽管德国没有与中国接壤，但例句当然是自然语言的句子，因此可以分析该句子的真实性。悖论来自此分析, 分析包括下面两个步骤:

1. 首先，可以使用上面的标准方法(“条件证明”)证明例句是正确的。
2. 其次，例句可以用来证明德国与中国接壤。因为德国不与中国接壤，所以这表明其中一个证据有误。

“德国与中国接壤”的命题可以用任何其他命题F代替，并且该命题F仍然可以被证明。 ^[1]

形式证明

命题逻辑证明

上一节中的示例使用了非形式化的自然语言推理。柯里悖论也出现在某些形式逻辑中。在这种情况下，它表明，如果我们假设存在一个形式句子（X→Y），其中X本身相当于（X→Y），那么我们可以用形式证明来证明Y。有关本节中使用的逻辑符号的说明，请参阅逻辑符号表。 用命题逻辑的形式证明如下：

1. X := (X → Y)

假设，起点，相当于“如果这句话为真，则 Y”

2. X → X

同一律

3. X → (X → Y)

根据1，X 等于 X → Y； 所以用X → Y替换 2 的右侧

4. X → Y

从 3 通过紧缩规则 (蕴含的幂等性)

5. X

将 4 替换为 1

6. Y

根据5和4并通过 肯定前件规则

另一种证明是通过皮尔士定律。如果 X = X → Y，则 (X → Y) → X。根据皮尔士定律 ((X → Y) → X) → X 和 肯定前件规则，意味着X 和随后的 Y（如上面的证明）。

相关条目

• 悖论
• 次协调逻辑
• 雙面真理論
• 罗素悖论
• 说谎者悖论
• 悖论列表

参考资料

1. Curry’s Paradox, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-11-26]. （原始内容于2021-10-29）. 
2. Barwise, Jon; Etchemendy, John. The Liar: An Essay on Truth and Circularity. New York: Oxford University Press. 1987: 23 [24 January 2013]. ISBN 0195059441. 
3. Curry, Haskell B. “The Inconsistency of Certain Formal Logics”, Journal of Symbolic Logic, 7(3): 115–117. doi:10.2307/2269292. 
4. Löb, Martin, Solution of a Problem of Leon Henkin, Journal of Symbolic Logic, 1955, 20 (2): 115–118, JSTOR 2266895 
5. MacBride, Fraser, etc. Chapter 2. The Foundations of Logic and Mathematics, Frank Ramsey, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-25]. （原始内容于2021-10-29）. 
6. Cantini, Andrea; Riccardo Bruni. Paradoxes and Contemporary Logic (Fall 2017), <Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-27]. （原始内容于2021-11-04）. 
7. Gupta, Anil. 2.6 Vicious-Circle Principle， Definitions， < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. （原始内容于2021-06-10）. 
8. Bolander, Thomas. Self-Reference, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. （原始内容于2021-06-10）.