李余代数, 数学中, coalgebra, 是与李代数对偶的结构, 在有限维情形, 它们是对偶的对象, 李代数的对偶向量空间上自然有一个结构, 反之亦然, 目录, 定义, 与德拉姆复形的关系, 对偶的李代数, 注释定义, 编辑设, 是域, 上一个向量空间, 上有一个线性映射, displaystyle, colon, wedge, nbsp, 与自身的外积, 可将, 惟一扩张成, 的外代数上一个度数为, 的分次导子, displaystyle, colon, bigwedge, bullet, rightarrow. 数学中 李余代数 Lie coalgebra 是与李代数对偶的结构 在有限维情形 它们是对偶的对象 李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构 反之亦然 目录 1 定义 1 1 与德拉姆复形的关系 2 对偶的李代数 3 注释定义 编辑设 E 是域 k 上一个向量空间 上有一个线性映射 d E E E displaystyle d colon E to E wedge E nbsp 从 E 到 E 与自身的外积 可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子 1 d E 1 E displaystyle d colon bigwedge bullet E rightarrow bigwedge bullet 1 E nbsp 那么二元组 E d 称为李余代数如果 d2 0 即外代数的分次分量与导子一起 E d displaystyle bigwedge E d nbsp 构成一个上链复形 E d E E d 3 E d displaystyle E rightarrow d E wedge E rightarrow d bigwedge 3 E rightarrow d dots nbsp 与德拉姆复形的关系 编辑 就像流形上向量场的外代数 张量代数也是 构成一个 基域 K 上的 李代数 流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数 进一步 在向量场与微分形式之间有一个配对 但形式要微妙些 李代数不是光滑函数 C M displaystyle C infty M nbsp 上线性的 误差是李导数 外导数也不是 d f g d f g f d g f d g displaystyle d fg df g f dg neq f dg nbsp 它是一个导子 但不是函数线性的 它们不是张量 它们不是在函数上线性的 但它们有一种一致的表现 不能简单地由李代数与余代数刻画 进一步 在德拉姆复形中 导子不仅对 W 1 W 2 displaystyle Omega 1 to Omega 2 nbsp 有定义 而且对 C M W 1 M displaystyle C infty M to Omega 1 M nbsp 有定义 对偶的李代数 编辑向量空间上李代数结构是一个映射 g g g displaystyle cdot cdot colon mathfrak g times mathfrak g to mathfrak g nbsp 反对称 且满足雅可比恒等式 等价地 一个映射 g g g displaystyle cdot cdot colon mathfrak g wedge mathfrak g to mathfrak g nbsp 满足雅可比恒等式 对偶地 向量空间上李余代数结构是一个映射 d E E E displaystyle d colon E to E wedge E nbsp 满足上闭链条件 李括号的对偶诱导一个映射 余交换子 g g g g g displaystyle cdot cdot colon mathfrak g to mathfrak g wedge mathfrak g cong mathfrak g wedge mathfrak g nbsp 这里同构 displaystyle cong nbsp 对有限维成立 对偶是李乘积的对偶 在这种情形下 雅可比恒等式对应于上闭链条件 更明确地 令 E 是一个李余代数 对偶空间 E 上带有 a x y da x y 对所有 a E 与 x y E 定义的括号结构 我们证明 E 上所赋予的是一个李括号 只需验证雅可比恒等式 对任意 x y z E 与 a E d 2 a x y z 1 3 d 2 a x y z y z x z x y 1 3 d a x y z d a y z x d a z x y displaystyle d 2 alpha x wedge y wedge z frac 1 3 d 2 alpha x wedge y wedge z y wedge z wedge x z wedge x wedge y frac 1 3 left d alpha x y wedge z d alpha y z wedge x d alpha z x wedge y right nbsp 这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同 最后 给出 d 2 a x y z 1 3 a x y z a y z x a z x y displaystyle d 2 alpha x wedge y wedge z frac 1 3 left alpha x y z alpha y z x alpha z x y right nbsp 因 d2 0 从而 a x y z y z x z x y 0 displaystyle alpha x y z y z x z x y 0 nbsp 对任意 a x y 与 z 这样 由双对偶同构雅可比恒等式成立 特别地 注意到证明指出了上闭链条件 d2 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶 注释 编辑 这意味着 对任何齐次元素 a b E d a b d a b 1 deg a a d b displaystyle d a wedge b da wedge b 1 operatorname deg a a wedge db nbsp 取自 https zh wikipedia org w index php title 李余代数 amp oldid 67754124, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,