链复形, 数学上, 同调代数领域中的一个, displaystyle, bullet, bullet, 是一个交换群或者模的序列a0, 通过一系列同态dn, 1相连, 使得每两个连接的映射的复合为零, 0对于所有n, 它们常常写作如下形式, displaystyle, ldots, longrightarrow, begin, matrix, longrightarrow, matrix, begin, matrix, longrightarrow, matrix, begin, matrix, longright. 数学上 同调代数领域中的一个链复形 A d displaystyle A bullet d bullet 是一个交换群或者模的序列A0 A1 A2 通过一系列同态dn An An 1相连 使得每两个连接的映射的复合为零 dn o dn 1 0对于所有n 它们常常写作如下形式 A n 1 d n 1 A n d n A n 1 d n 1 A n 2 A 2 d 2 A 1 d 1 A 0 d 0 0 displaystyle ldots longrightarrow A n 1 begin matrix d n 1 longrightarrow end matrix A n begin matrix d n longrightarrow end matrix A n 1 begin matrix d n 1 longrightarrow end matrix A n 2 longrightarrow ldots longrightarrow A 2 begin matrix d 2 longrightarrow end matrix A 1 begin matrix d 1 longrightarrow end matrix A 0 begin matrix d 0 longrightarrow end matrix 0 dd 定義鏈複形的同調群為 H n A K e r d n I m d n 1 displaystyle H n A bullet mathrm Ker d n mathrm Im d n 1 當所有同調群為零時 此鏈複形為正合的 链复形概念的一个变种是上链复形 一个上链复形 A d displaystyle A bullet d bullet 是一个交换群或者模的序列A0 A1 A2 由一系列同态dn An An 1相连 使得任何两个接连的映射的复合为零 dn 1 o dn 0 对于所有的n 0 A 0 d 0 A 1 d 1 A 2 A n 1 d n 1 A n d n A n 1 displaystyle 0 longrightarrow A 0 begin matrix d 0 longrightarrow end matrix A 1 begin matrix d 1 longrightarrow end matrix A 2 longrightarrow ldots longrightarrow A n 1 begin matrix d n 1 longrightarrow end matrix A n begin matrix d n longrightarrow end matrix A n 1 longrightarrow ldots dd 定義上鏈複形的上同調群為 H n A K e r d n I m d n 1 displaystyle H n A bullet mathrm Ker d n mathrm Im d n 1 當所有上同調群為零時 此上鏈複形正合 想法基本上是一样的 链复形的应用通常定义并应用它们的同调群 对于上链复形是上同调群 在更抽象的范围里 很多等价关系被应用到复形上 例如从链同伦的思想开始 以下将解说 链复形很容易在交换范畴中定义 一个有界复形是其中 几乎所有的Ai为零 这样一个有限的复形 用0来伸展到左边和右边 一个例子是定义一个 有限 单纯复形的同调理论的复形 目录 1 例子 1 1 奇异同调 1 2 德拉姆上同调 2 鏈映射 3 鏈同倫 3 1 参看例子 编辑奇异同调 编辑 假定我们给定一个拓扑空间X 定义Cn X 对于自然数n 为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成 并定义边界映射 n C n X C n 1 X s v 0 v n X n s i 0 n 1 i s v 0 v i v n displaystyle partial n C n X to C n 1 X sigma v 0 ldots v n to X mapsto partial n sigma sum i 0 n 1 i sigma v 0 ldots hat v i ldots v n nbsp dd 其中帽子表示省略一个顶点 也就是说 一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和 可以证明 0 所以 C displaystyle C bullet partial bullet nbsp 是一个链复形 奇异同调 H X displaystyle H bullet X nbsp 是该复形的同调类 也就是说 H n X ker n im n 1 displaystyle H n X ker partial n mbox im partial n 1 nbsp dd 德拉姆上同调 编辑 任何光滑流形上的微分k 形式在加法下组成一个交换群 事实上一个R 向量空间 称为Wk M 外导数 d dk 映射 Wk M Wk 1 M 而且d2 0可以直接从二阶导数的对称性导出 所以k 形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形 W 0 M W 1 M W 2 M W 3 M displaystyle Omega 0 M to Omega 1 M to Omega 2 M to Omega 3 M to ldots nbsp dd 该复形的上同调是德拉姆上同调 H D R k M ker d k 1 im d k displaystyle H mathrm DR k M ker d k 1 mbox im d k nbsp dd 鏈映射 编辑兩個鏈複形 A d A displaystyle A bullet d A bullet nbsp B d B displaystyle B bullet d B bullet nbsp 之間的鏈映射是一族同態 f n A n B n displaystyle f n A n rightarrow B n nbsp 使之滿足 f n d A n d B n f n 1 displaystyle f n circ d A n d B n circ f n 1 nbsp 全體鏈複形依此構成一範疇 鏈映射誘導出同調群間的映射 上鏈複形的情形類似 兩個上鏈複形 X d X displaystyle X bullet d X bullet nbsp Y d Y displaystyle Y bullet d Y bullet nbsp 之間的上鏈映射是一族同態 f n X n Y n displaystyle f n X n rightarrow Y n nbsp 使之滿足 f n 1 d X n d Y n f n displaystyle f n 1 circ d X n d Y n circ f n nbsp 上鏈映射也誘導出上同調群間的映射 舉例來說 拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射 而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射 這是函子性或稱自然性的一個例子 空間與映射的拓撲 幾何性質藉此反映在代數結構上 因而變得容易操作與計算 鏈同倫 编辑兩個鏈映射 f n g n A B displaystyle f n g n A bullet rightarrow B bullet nbsp 稱作是同倫的 若且唯若存在一族同態 D n A n B n 1 displaystyle D n A n rightarrow B n 1 nbsp 使得 f n g n d n 1 D n D n 1 d n displaystyle f n g n d n 1 circ D n D n 1 circ d n nbsp 上鏈映射的同倫定義也類似 惟此時考慮的是一族同態 D n X n Y n 1 displaystyle D n X n rightarrow Y n 1 nbsp 以下給出上鏈同倫的圖解 nbsp 上 鏈同倫的鏈映射在 上 同調群上誘導出相同的映射 特別是 同倫於恆等映射 id 的 上 鏈映射是擬同構 鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯 参看 编辑 同调 微分分级代数 取自 https zh wikipedia org w index php title 链复形 amp oldid 74289044, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,