朗道量子化

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是简并的，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比^[1]:267。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡^[1]。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的^[2]。

推导

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出^[1]:255-258。这里采用量子力学的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为q，自旋量子数为S，并被限制在x-y平面内一个面积A = L_xL_y的区域内。

对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ 。由于自旋对于这个二维系统没有影响^[3]，因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下，这个系统的哈密顿算符为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}$ 

式中${\displaystyle \mathbf {p} }$ 为正则动量算符，${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ 为磁场的磁矢势，与磁感应强度的关系为：

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$ 

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ 被添加一个标量场的梯度时，波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有规范不变性，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择朗道规范（英语：Landau gauge）：

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$ 

式中B=|B|，x为位置算符x方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.}$ 

算符${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ 与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时，算符${\displaystyle {\hat {y}}}$ 被忽略掉了，因而算符${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ 可被它的本征值ħk_y替代。

如果设定回旋频率ω_c = qB/mc，那么可以得出此时哈密顿算符为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.}$ 

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动x₀ = ħk_y/mω_c。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致：

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.}$ 

由于能量与量子数k_y无关，因而会存在一定的简并态。

由于${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ 与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ 的乘积，但${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ 也需要在x方向上移动x₀，即：

${\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.}$ 

总之，电子的状态可以通过n与k_y这两个量子数表征。

朗道能级

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即kT ≪ ħω_c时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数k_y的取值情况为：

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$ ,

式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x₀的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说0 ≤ x₀ < L_x。这给出了N的取值范围：

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$ 

对于带电量q = Ze的粒子来说，N的上限可以表记为磁通量的比值：

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$ 

式中 Φ₀ = h/e为磁通量的基本量子，Φ = BA是系统的磁通量，面积A = L_xL_y。

因而对于自旋为S的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值D为：

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.}$ 

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效，如果系统尺度L_x是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一^[4]。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Z=1，S=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：D = Φ/Φ₀。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的： 2μ_BB = ħω 。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

讨论

在上面的推导过程中，x与y似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp(ik_zz)，能量对应地需要加上(ħ k_z)²/(2m)。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。

对称规范中的朗道能级

选定对称规范：

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}}$ 

对于哈密顿算符进行去量纲化：

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$ 

实际值可以通过引入${\displaystyle q}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle \hbar }$ 、${\displaystyle \mathbf {B} }$ 及${\displaystyle m}$ 等常数得出。

引入算符

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$ 

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$ 

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$ 

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$ 

这些算符的对易关系为：

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}$ .

哈密顿算符可记为：

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}}$ 

朗道能级序数${\displaystyle n}$ 是${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$ 的本征值。

角动量z方向上的分量为：

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$ 

利用其与哈密顿算符可对易，即${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ ，我们选定${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ 的本征值${\displaystyle -m\hbar }$ 为使${\displaystyle {\hat {H}}}$ 与 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ 对角化的本征函数。易见，在第${\displaystyle n}$ 个朗道能级上存在${\displaystyle m\geq -n}$ 。然而${\displaystyle m}$ 的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ 可以使${\displaystyle m}$ 减小一个单位同时使${\displaystyle n}$ 保持不变，而${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ 则可以使${\displaystyle n}$ 增大一个单位，同时令${\displaystyle m}$ 减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到：

${\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle }$ 

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$ 

${\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle }$ 

在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数k_y及${\displaystyle m}$ 表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果：

${\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}}$ 

式中${\displaystyle w=x+iy}$ 。

特别地，对于最低的朗道能级，即${\displaystyle n=0}$ 时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积：${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$ 。

规范变换的影响

进行这样的规范变换：

${\displaystyle {\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})}$ 

运动学动量的定义为：

${\displaystyle {\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c}$ 

式中${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ 为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ 与${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ 也会在规范变换后保持不变，但${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle }$ 会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为${\displaystyle A}$ 与${\displaystyle A'}$ 时的量子态为${\displaystyle |\alpha \rangle }$ 与${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ 。

由于${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ 和${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ 是规范不变的，可以得到：

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle }$ 

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle }$ 

${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle }$ 

设算符${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ 会使${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle }$ ，则：

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}}$ 

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}}$ 

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1}$ 

综上所述：

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)}$ 

参考文献

1. 黄昆; 韩汝琦. 《固体物理学》. 北京: 高等教育出版社. : 255–274. ISBN 978-7-04-001025-1 （中文（中国大陆））. 
2. Landau, L. D. Diamagnetismus der metalle. Zeitschrift für Physik. 1930, 64 (9-10): 629–637 [2016-01-15]. doi:10.1007/BF01397213. （原始内容于2019-05-02） （德语）. 
3. Л·Д·朗道; Е·М·栗弗席兹; 严肃（译）; 喀兴林（校）. 《理论物理学教程第三卷·量子力学（非相对论理论）》. 北京: 高等教育出版社. : 416–420. ISBN 978-7-04-024306-2 （中文（中国大陆））. 
4. Mikhailov, S. A. A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles. Physica B: Condensed Matter. 2001, 299: 6. doi:10.1016/S0921-4526(00)00769-9 （英语）. 

参见

•  物理学主题

• 巴克豪森效应
• 量子霍尔效应
• 劳夫林波函数（英语：Laughlin wavefunction）