施泰纳-莱穆斯定理

施泰纳-莱穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）和瑞士数学家雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner）命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。

${\displaystyle \alpha =\beta ,\;\gamma =\delta ,\;AE=BD}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle ABC}$是等腰三角形

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。

历史

在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner），询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《新数学年鉴（法语：Nouvelles annales de mathématiques）》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。^{[1][2][3][4][5]}

19世纪40年代起的一百多年里，关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现，有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法，即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰，其中一个内角大于另一个，然后推出矛盾的结论。于是，关注点变成了，施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法，以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为，拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。^[5]

证明

反证法

 

反证法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$  中，两条内角平分线 ${\displaystyle CE=BD}$  。

假设 ${\displaystyle \angle ABC\neq \angle ACB}$  ，令 ${\displaystyle \angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta }$  。

在线段 ${\displaystyle AB}$  上取点 ${\displaystyle G}$ ，使 ${\displaystyle \angle ECG=\alpha }$ ， ${\displaystyle CG}$  交 ${\displaystyle BD}$  于点 ${\displaystyle F}$  。

${\displaystyle \triangle CEG\sim \triangle BFG}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle {CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle CG>BG}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle \angle CBG>\angle BCG}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle \alpha >\beta }$ 

结论与假设矛盾，故假设不成立。故 ${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$  。^[5]

直接证明

 

直接证明法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$  中，两条内角平分线 ${\displaystyle BE=CD}$  。记 ${\displaystyle \angle CBE=\angle ABE=\alpha }$  ，${\displaystyle \angle BCD=\angle ACD=\beta }$  。

做直线 ${\displaystyle EF}$  ，使 ${\displaystyle \angle BEF=\beta }$ 。做直线 ${\displaystyle BF}$  ，使 ${\displaystyle \angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta }$  。

${\displaystyle \triangle BEF\cong \triangle DCB}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle {\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle \triangle CBF\cong \triangle FEC}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle BF=EC}$ 

${\displaystyle EC=BF=DB}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle \triangle DBC\cong \triangle ECB}$ ${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$ ${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$ 

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。^[6]

代数证明

利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。^[7]

${\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}$ 

化简后得到： ${\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0}$ 

连乘的其他各项都为正数，从而推出： ${\displaystyle a-b=0}$ 

外角平分线问题

 

两条外角平分线相等的不等腰三角形。易证 ${\displaystyle AD=AB=BE}$ 

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。^[8]

进一步地，数学家们尝试证明，所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。^[8][9]中国数学家蒋声指出，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形：^[10]

${\displaystyle {\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}}$ 

“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题，不过较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。^[11]

参考文献

1. Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 [2023-06-11]. （原始内容 (PDF)于2023-06-11） （法语）. 
2. Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 [2023-06-11]. （原始内容于2023-06-11） （德语）. 
3. M'Bride, J. (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13 [2023-06-11]. doi:10.1017/S0950184300000021. 原始内容存档于2019-05-02 （英语）. 
4. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16 [2023-06-11]. ISBN 0-88385-619-0. （原始内容 (PDF)于2023-01-28） （英语）. 
5. Sauvé, Léo. The Steiner-Lehmus theorem (PDF). Eureka. 1976, 2: 19-24 [2023-06-17]. （原始内容 (PDF)于2022-04-19） （英语）. 
6. Gardner, Sherri R. A Variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem (Master of Science论文). East Tennessee State University: 19. 2013 [2023-06-25]. （原始内容于2023-06-27） （英语）. 
7. Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 （英语）. 
8. Trigg, Charles W. Problem 862, Solution I (PDF). Mathematics Magazine. 1974, 1 (1): 52-53 [2023-06-11]. doi:10.2307/2688766. （原始内容 (PDF)于2022-02-13） （英语）. 
9. 吴文俊; 吕学礼. 分角线相等的三角形：初等几何机器证明问题. 北京: 人民教育出版社. 1985. ISBN 9780070120723. 
10. 蒋声. 有两条外角平分线相等的不等边三角形. 中等数学. 1989, (01): 12-13. 
11. 叶余本. 続．二等辺三角形の性質の一つの研究. 日本数学教育学会誌. 1984, 66 (11): 45-49 [2023-06-11]. doi:10.32296/jjsme.66.11_45. （原始内容于2023-06-11）.