指數映射 (黎曼幾何)

黎曼几何中，指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$（英語：exponential map）是由某（偽）黎曼流形${\displaystyle M}$切空间${\displaystyle T_{p}M}$的子集，到${\displaystyle M}$本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點${\displaystyle p}$出發，以揀選切向量${\displaystyle v\in T_{p}M}$為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是${\displaystyle \exp _{p}(v)}$。

過北極的切面，到地面表面的指數映射，地圖學稱為方位等距投影（英语：azimuthal equidistant projection）。

定義

設${\displaystyle M}$ 為微分流形，${\displaystyle p}$ 為${\displaystyle M}$ 上一點。利用${\displaystyle M}$ 上的仿射联络，可以定義過${\displaystyle p}$ 點的測地線。^[1]

設${\displaystyle v\in T_{p}M}$ 為於${\displaystyle p}$ 點的切向量，則獨有一條测地线${\displaystyle \gamma _{v}}$ 滿足${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$ ，而初始切向量為${\displaystyle \gamma _{v}'(0)=v}$ 。對應的指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$ 由

${\displaystyle \exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)}$ 

定義。一般而言，指數映射不必在全個${\displaystyle T_{p}M}$ 有定義，而衹有局部定義，即定義域是${\displaystyle T_{p}M}$ 原點的小鄰域，映到${\displaystyle p}$ 在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切丛處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

參考資料

1. 本節可參考Kobayashi & Nomizu (1975，§III.6)，其稱仿射聯絡為linear connection「線性聯絡」。

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry（英语：Foundations of Differential Geometry） Vol. 1 New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 .