拿破侖定理

拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理：“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)連線必构成一个正三角形。”該正三角形稱為拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。

证明

 

证明段落配图

为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为${\displaystyle O}$ ，并连接${\displaystyle O}$ 与中间三角形的另外两个顶点，因为${\displaystyle O}$ 在两圆上，所以${\displaystyle \angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ }}$ 

因为中间正三角形的顶点在圆心上，且${\displaystyle AO}$ 、${\displaystyle BO}$ 、${\displaystyle CO}$ 是外正三角形外接圆交点的连线，所以${\displaystyle OA}$ ⊥${\displaystyle MN}$ 、${\displaystyle OB}$ ⊥${\displaystyle NL}$ 、${\displaystyle OC}$ ⊥${\displaystyle ML}$ 

因为${\displaystyle \angle ACO+\angle CAO=60^{\circ }}$ ，${\displaystyle \angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^{\circ }}$ ，所以${\displaystyle \angle AMN+\angle CML=60^{\circ }}$ ，所以${\displaystyle \angle NML=60^{\circ }}$ ，其余二角同理。

基本性质

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个正三角形。
本圖形具備下列特徵:

• 線段${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BY}}={\overline {CZ}}}$ ，且該三線段交於一點，該點到ABC三點距離之和等於${\displaystyle {\overline {AX}}}$ （或${\displaystyle {\overline {BY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$ ）。
  
• ${\displaystyle {\overline {AX}}}$ 與${\displaystyle {\overline {MN}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BY}}}$ 與${\displaystyle {\overline {NL}}}$ 、${\displaystyle {\overline {CZ}}}$ 與${\displaystyle {\overline {ML}}}$ 互相垂直。
  
• ${\displaystyle \triangle ACY,\triangle BCX,\triangle ABZ}$ 之外接圓相交於一點，該點即線段${\displaystyle {\overline {AX}},{\overline {BY}},{\overline {CZ}}}$ 之交點。
  

參見

• 四邊形上，類似的定理為凡·奧貝爾定理。
• 拿破仑定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 内拿破侖三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九点圆

外部連結

• 拿破崙三角形的證明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）：利用圖解的方式，一步一步說明拿破崙三角形的原理（英文）。