外森比克不等式, 此條目没有列出任何参考或来源, 2014年11月15日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, weitzenböck, inequality, 是有关三角形边长和面积的一个不等式, 設三角形的邊長為a, displaystyle, 面積為a, displaystyle, 則声称a, displaystyle, sqrt, 成立, 若且唯若三角形為等邊三角形, 等號成立, 佩多不等式是的推广, 在1961年国际奥林匹克数. 此條目没有列出任何参考或来源 2014年11月15日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 外森比克不等式 Weitzenbock s inequality 是有关三角形边长和面积的一个不等式 設三角形的邊長為a b c displaystyle a b c 面積為A displaystyle A 則外森比克不等式声称a 2 b 2 c 2 4 3 A displaystyle a 2 b 2 c 2 geq 4 sqrt 3 A 成立 若且唯若三角形為等邊三角形 等號成立 佩多不等式是外森比克不等式的推广 在1961年国际奥林匹克数学竞赛中 此题曾被拿來要求学生证明 证明一 编辑除了 所有平方数非负 以外 这个证明不用到其它任何不等式 a 2 b 2 2 b 2 c 2 2 c 2 a 2 2 0 2 a 4 b 4 c 4 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 0 4 a 4 b 4 c 4 3 4 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 3 a 4 b 4 c 4 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 3 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 a 2 b 2 c 2 2 3 4 A 2 displaystyle begin aligned amp a 2 b 2 2 b 2 c 2 2 c 2 a 2 2 geq 0 iff amp 2 a 4 b 4 c 4 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 geq 0 iff amp frac 4 a 4 b 4 c 4 3 geq frac 4 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 3 iff amp frac a 4 b 4 c 4 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 3 geq 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 iff amp frac a 2 b 2 c 2 2 3 geq 4A 2 end aligned nbsp 两边取平方根 即得证 证明二 编辑这个证明用到了排序不等式和算术 几何平均值不等式 a 2 b 2 c 2 a b b c c a 3 a 2 b 2 c 2 a b c 2 a 2 b 2 c 2 3 a b c a b c 3 3 a 2 b 2 c 2 3 a b c a b c a b c a b c a 2 b 2 c 2 4 3 A displaystyle begin aligned amp amp a 2 b 2 c 2 amp geq amp amp ab bc ca iff amp amp 3 a 2 b 2 c 2 amp geq amp amp a b c 2 iff amp amp a 2 b 2 c 2 amp geq amp amp sqrt 3 a b c left frac a b c 3 right 3 iff amp amp a 2 b 2 c 2 amp geq amp amp sqrt 3 a b c a b c a b c a b c iff amp amp a 2 b 2 c 2 amp geq amp amp 4 sqrt 3 A end aligned nbsp 证明三 编辑内拿破仑三角形的面积的平方的6倍等于不等式左边减去右边 显然面积平方不小于 0 从而不等式成立 取自 https zh wikipedia org w index php title 外森比克不等式 amp oldid 56196632, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,