傅里叶分析

傅里叶分析，是数学的一个分支领域。它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加。它研究并扩展傅里叶级数和傅里叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用，如信号处理、量子力学、神经科学等。

定义于Rⁿ上的经典傅里叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域，特别是在作用于更一般的对象（例如缓增广义函数）上的傅里叶变换。例如，如果在函数或者信号上加上一个分布f，我们可以试图用f的傅里叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布，（这包含紧支撑函数），则其傅里叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。

在希尔伯特空间，傅里叶级数的研究变得很方便，该空间将调和分析和泛函分析联系起来。

抽象调和分析

拓扑群上的数学分析是调和分析更现代的一个分支，源于20世纪中叶。其主要动机是各种傅里叶变换可以推广为定义在局部紧致阿贝尔群上的函数的变换。關鍵是證明普朗歇尔定理的類比。

局部緊緻阿貝爾群上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲群，調和分析的課題是分類其酉表示。主要對象是李群與p-進群。

對於緊群，任何不可約表示必為有限維么正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約么正表示的矩陣係數構成${\displaystyle L^{2}(G)}$ 的正交基；映射${\displaystyle f\mapsto \pi (f)}$ 具有與傅里葉變換相近的性質。藉此可以深究緊群的結構。

對於非緊亦非交換的群，須考慮其無窮維表示。目前還沒有一般的普朗歇尔定理，不過對${\displaystyle \mathrm {GL} _{n},\mathrm {SL} _{n}}$ 等特例已有結果。

其它分支

• 研究流形或圖上的拉普拉斯算子。
• 歐氏空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的傅里葉分析。由於傅里葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成份與球面成份，由此導向贝塞尔函数與球諧函數的研究。
• 管狀域上的調和分析，這是哈代空間在高維度的推廣。

参考文献

• Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
• Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
• Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
• Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition（Kharkov, Ukraine）. Birkhäuser Verlag. 1988.

延伸閱讀

• Conte, S. D.; de Boor, Carl. Elementary Numerical Analysis Third. New York: McGraw Hill, Inc. 1980. ISBN 978-0-07-066228-5. 
• Evans, L. Partial Differential Equations. American Mathematical Society. 1998. ISBN 978-3-540-76124-2. 
• Howell, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis. CRC Press. 2001. ISBN 978-0-8493-8275-8. 
• Kamen, E. W.; Heck, B. S. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab 2. Prentiss-Hall. 2000-03-02. ISBN 978-0-13-017293-8. 
• Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms 3rd. Addison-Wesley Professional. 1997. Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305. ISBN 978-0-201-89684-8. 
• Müller, Meinard. The Fourier Transform in a Nutshell (PDF). Springer. 2015. In Fundamentals of Music Processing, Section 2.1, p. 40–56 [2019-02-09]. ISBN 978-3-319-21944-8. doi:10.1007/978-3-319-21945-5. （原始内容 (PDF)于2020-01-20）. 
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. 1998. ISBN 978-0-8493-2876-3. 
• Rudin, Walter. Fourier Analysis on Groups. Wiley-Interscience. 1990. ISBN 978-0-471-52364-2. 
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing Second. San Diego: California Technical Publishing. 1999 [2019-02-09]. ISBN 978-0-9660176-3-2. （原始内容于2020-11-12）. 
• Stein, E. M.; Weiss, G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press. 1971. ISBN 978-0-691-08078-9. 

參見

• 离散傅里叶变换
• 快速傅里叶变换

外部連結

• Tables of Integral Transforms （页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• by Steven Lehar.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger. ∑ Summation (and Fourier Analysis). Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 2009 [2019-02-09]. （原始内容于2020-05-06）.