德拜-沃勒因子

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名于彼得·德拜和伊瓦尔·沃勒（英语：Ivar Waller），在凝聚态物理学中描述的是X射线衍射中由热运动引起的衰减^[1][2]；又被称作B因子或者温度因子。兰姆-穆斯堡尔因子（英语：Lamb-Mössbauer factor）是德拜-沃勒因子在相干中子散射实验（英语：neutron scattering）和穆斯堡尔谱学中的一个推广。

在散射实验中，对于散射矢量 ${\displaystyle \mathbf {q} }$，${\displaystyle {\text{DWF}}(\mathbf {q} )}$ 给出的是弹性散射（英语：elastic scattering）的比例；${\displaystyle 1-{\text{DWF}}(\mathbf {q} )}$ 则是非弹性散射的比例。（严格来讲，这种概率诠释不是非常准确^[3]。）布拉格衍射实验中，弹性散射是出现布拉格峰的原因；而非弹性散射产生的是宽广的背景噪声，除非分析对象是散射粒子的能量（例如非弹性中子散射（英语：inelastic neutron scattering）或是电子能量损失谱），否则均被视为干扰。因此在一般的衍射实验中，只有弹性散射是有效信息。这也使得德拜-沃勒因子的计算在衍射实验中具有重要的意义。

背景

在劳厄完成X射线衍射实验之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，晶格中的原子由于热运动，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。^[4]

然而，随后劳厄和布拉格等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。^[4] 以下是德拜的描述：

“

我将其总结为，干涉条纹的锐度不受影响，但是他们的强度会不但随着散射角的增加而下降，而且会随着温度的升高而下降。^[4]

”

最初的理论

对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给结构因子 ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$  中表示原子位置的项 ${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$  加上关于时间的微扰项 ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ，得到修正后的原子位置为 ${\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} _{j}+\mathbf {u} (t)}$ 。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动^{[注 1]}，则对修正后结构因子中的 ${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})}$  一项变为：

${\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ 

修正项 ${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$  即为德拜-沃勒因子的最初来源。

定义

德拜-沃勒因子的基本表达式为：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}$ 

其中的 ${\displaystyle \mathbf {u} }$  为热振动引起的位移，${\displaystyle \left\langle ...\right\rangle }$  表示热力学平均。

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$  可被展开为

${\displaystyle 1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$ 

假设 ${\displaystyle \mathbf {u} }$  在空间上具有各向同性，即${\displaystyle \left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle =0}$ ，则

${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}$ 

注意到上式的前两项与 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$  展开式的前两项是一致的。因此可用 ${\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$  代换${\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }$ ，代入开头的基本表达式：

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$ 

即

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}$

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义^{[5][6][注 2]}。值得注意的是上述推导都是在经典物理学的框架之下完成的；而在量子力学中，相同的结论依然成立。

进一步的推导^[4]可得

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}$ 

其中 ${\displaystyle q}$ ，${\displaystyle u}$  为向量 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ，${\displaystyle \mathbf {u} }$  的大小。${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$  叫做均方位移（英语：mean squared displacement）。若入射波的波长为 ${\displaystyle \lambda }$ ，且被弹性散射了 ${\displaystyle 2\theta }$  角度，可用下式计算出 ${\displaystyle q}$  的大小：

${\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}$ 

B因子

在对蛋白质结构的研究中，“B因子（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为

${\displaystyle B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle }$ 

单位为 Ų。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。蛋白质资料库中的每一ATOM记录（PDB文件格式（英语：Protein Data Bank (file format)））都会包含某特定原子的B因子信息^[7]。

参见

• 兰姆-穆斯堡尔因子（英语：Lamb-Mössbauer factor）

注释

1. 这是爱因斯坦模型的假设，不适用于低温的情况，但对于高温时的预测较为准确。
2. 教科书上的推导均涉及量子力学，与上式仅仅是结论一致。

参考资料

1. Debye, Peter. Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung. Annalen der Physik. 1913, 348 (1): 49–92. Bibcode:1913AnP...348...49D. doi:10.1002/andp.19133480105 （德语）. 
2. Waller, Ivar. Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen. Zeitschrift für Physik A (Berlin / Heidelberg: Springer). 1923, 17: 398–408. Bibcode:1923ZPhy...17..398W. doi:10.1007/BF01328696 （德语）. 
3. Lipkin, Harry. Physics of Debye-Waller Factors. 2004. arXiv:cond-mat/0405023v1  . 
4. Kittel, C. Introduction to Solid State Physics 8th. John Wiley & Sons. 2005: 641-642. ISBN 0-471-41526-X. 
5. Grosso, Giuseppe; Parravicini, Giuseppe Pastori. Solid State Physics 2nd. Elsevier. 2014: 469. ISBN 978-0-12-385030-0. 
6. Ashcroft, Neil; Mermin, N. Solid State Physics. Brooks Cole. 1976: 793. ISBN 978-0030839931. 
7. . CMBI（英语：Center for Molecular and Biomolecular Informatics）. [2017-07-06]. （原始内容存档于2017-07-13） （英语）.