布拉格定律

在物理學中，布拉格定律給出晶格的相干及不相干散射角度。當X射線入射於原子時，跟任何電磁波一樣，它們會使電子雲移動。電荷的運動把波動以同樣的頻率再發射出去（會因其他各種效應而變得有點模糊）；這種現象叫瑞利散射（或彈性散射）。散射出來的波可以再相互散射，但這種進級散射在這裏是可以忽略的。當中子波與原子核或不成對電子的相干自旋進行相互作用時，會發生一種與上述電磁波相近的過程。這些被重新發射出來的波來相互干涉，可能是相長的，也可能是相消的（重疊的波某程度上會加起來產生更強的波峰，或相互消抵），在探測器或底片上產生繞射圖樣。而所產生的波干涉圖樣就是繞射分析的基本部份。這種解析叫布拉格繞射。

布拉格繞射（又稱X射線繞射的布拉格形式），最早由威廉·勞倫斯·布拉格及威廉·亨利·布拉格於1913年提出，他們早前發現了固體在反射X射線後產生的晶體線（與其他物態不同，例如液體），而這項定律正好解釋了這樣一種效應。他們發現，這些晶體在特定的波長及入射角時，反射出來的輻射會形成集中的波峰（叫布拉格尖峰）。布拉格繞射這個概念同樣適用於中子繞射及電子繞射 ^[1] 。中子及X射線的波長都於原子間距離(~150 pm)相若，因此它們很適合在這種長度作“探針”之用。

X射線與一晶體內原子的相互作用。

威廉·勞倫斯·布拉格使用了一個模型來解釋這個結果，模型中晶體為一組各自分離的平行平面，相鄰平面間的距離皆為一常數d。他的解釋是，如果各平面反射出來的X射線成相長干涉的話，那麼入射的X射線經晶體反射後會產生布拉格尖峰。當相位差為2π及其倍數時，干涉為相長的；這個條件可經由布拉格定律表示^[2]：

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \!}$

其中n為整數，λ為入射波的波長，d為原子晶格內的平面間距，而θ則為入射波與散射平面間的夾角。注意移動中的粒子，包括電子、質子和中子，都有對應其速度及質量的德布羅意波長。

根據 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2\theta \end{smallmatrix}}}$ 推導，相位差會導致相長（圖左）或相消（圖右）干涉。

布拉格定律由物理學家威廉·勞倫斯·布拉格爵士^[3]於1912年推導出來，並於1912年11月11日首度於劍橋哲學會中發表。儘管很簡單，布拉格定律確立了粒子在原子大小下的存在，同時亦為晶體研究提供了有效的新工具──X射線及中子繞射。威廉·勞倫斯·布拉格及其父，威廉·亨利·布拉格爵士獲授1915年諾貝爾物理學獎，原因為晶體結構測定的研究，他們測定了氯化鈉、硫化鋅及鑽石的結構。 他們是唯一一隊同時獲獎的父子隊伍，而威廉·勞倫斯·布拉格時年25歲，因此成了最年輕的諾貝爾獎得主。

布拉格條件

 

圖為布拉格繞射。兩束相同波長及相的輻射，向着固態晶體前進，最後被裏面的兩個原子所散射出去。下面的束被散射後，比上面的束多行了 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$  的距離。當這個距離等於輻射波長的倍數時，散射後的兩束輻射就會產生相長干涉。

當電磁輻射或亞原子粒子波的波長，與進入的晶體樣本的原子間距長度相若時，就會產生布拉格繞射，入射物會被系統中的原子以鏡面形式散射出去，並會按照布拉格定律所示，進行相長干涉。對於晶質固體，波被晶格平面所散射，各相鄰平面間的距離為d。當被各平面散射出去的波進行相長干涉時，它們的相位依然相同，因此每一波的路徑長度皆為波長的整數倍。進行相長干涉兩波的路徑差為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$ ，其中${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\theta \end{smallmatrix}}}$ 為散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相鄰晶體平面（由米勒指數h、k及l 標記），產生相長干涉的條件^[4] ：

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda \!}$ ，

其中n為整數，按各項參數大小而定，而λ則為波長^[5]。通過量度散射後入射波的強度，並將之表示成入射角的函數，可得干涉圖樣。在干涉圖樣中，當散射波滿足布拉格條件，就會產生非常強的強度，它們叫布拉格尖峰。

倒空間

儘管很多人都以為布拉格定律量度的是實空間中的原子距離，但事實並不是這樣的。在布拉格實驗中，只有在量度的距離與晶格圖中的d成反比時，第一陳述才似乎會是正確的。而且，從布拉格定律的${\displaystyle n\lambda }$ 項，可以看出定律量度兩排原子間到底能放多少個波長，因此它所量度的是倒距離。倒晶格向量描述的是某組晶格平面，它是這組平面的法向量，其長度為${\displaystyle G=2\pi /d}$ 。馬克斯·馮·勞厄用向量形式正確地詮釋了倒晶格向量，並得出以他命名的勞厄方程式：

${\displaystyle {\vec {G}}\ =\ {\vec {k_{f}}}\ -\ {\vec {k_{i}}}}$ 

其中${\displaystyle {\vec {G}}}$ 為倒晶格向量，而${\displaystyle {\vec {k_{f}}}}$ 及${\displaystyle {\vec {k_{i}}}}$ 為入射及繞射束的波向量。

彈性散射條件${\displaystyle |k_{f}|=|k_{i}|}$ ，及散射角${\displaystyle 2\theta }$ 與上式結合後，基本上與布拉格方程等效。這是因為動量轉移守恆的緣故。在這個系統中，其掃掠變量可以是長度、入射方向或出射波向量，其中波向量與系統中的能量及角度彌散有關。繞射角與Q空間的關係可用一簡單的式子表示：

${\displaystyle Q={\frac {4\pi \sin \left(\theta \right)}{\lambda }}}$ 。

倒晶格是一晶格的傅立葉空間，在晶格上應用完整的波動力學時，這個概念是不可或缺的。

另一種推導

 

設一單色波（任何種類），進入一組對齊的平面晶格點，其平面間距為${\displaystyle d}$ ，入射角為${\displaystyle \theta }$ ，如右圖所示。波被晶格點A反射後會沿AC'行進，而沒有被反射的波則沿AB繼續行進，被晶格點B反射後路徑為BC。AC'與BC間存在路徑差，表達式為

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')}$ 。

只有在路徑差等於波長的整數倍時，這兩股分開的波，在到達某一點時，會是同相位的，才會因此產生相長干涉，故相長干涉的產生條件為

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda }$ ， （需要為C'下定義）

其中${\displaystyle n}$ 與${\displaystyle \lambda }$ 的定義同上。

從上圖可見，

${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}\,}$  且 ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}}$ ，

由此可得，

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta }$ 。

組合上述各式，得

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$ ，

簡化後可得：

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$ ，

即布拉格定律。

膠體晶體的布拉格可見光散射

膠體晶體（英语：Colloidal crystal）為一種非常有序（英语：Order and disorder (physics)）的粒子陣列，可以在大範圍內形成（長度從幾微米到幾毫米不等），而且可被看作原子及分子晶體的類比^[6]。球狀粒子的週期性陣列，會形成出相似的空隙陣列，而這種陣列可被用作可見光的繞射光柵，尤其是當空隙與入射波長為同一數量級的時候^[7][8][9]。

因此，科學家們在很多年前就發現了，由於相斥庫侖相互作用的關係，水溶液中的帶電荷高分子，會表現出大範圍的類晶體相互關聯，當中粒子間距一般會比粒子直徑要大得多。在自然的所有這種例子中，都可到看到一樣的漂亮構造色（或晃動的色彩），這都可以歸功於可見光波的相長干涉，而此時光波會滿足布拉格條件，跟結晶固體的X射線繞射類似。

選擇定則與實驗晶體學

就跟上文提過的那樣，布拉格定律可用於計算某立方晶系的晶格間距，關係式如下：

${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}}$ 

其中${\displaystyle a}$ 為立方晶體的晶格間距，而${\displaystyle h}$ 、${\displaystyle k}$ 及${\displaystyle l}$ 則為布拉格平面的密勒指數，將上式與布拉格定律結合可得：

${\displaystyle \left({\frac {\lambda \ }{2a}}\right)^{2}={\frac {\sin ^{2}\theta \ }{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$ 。

我們可以推導出各種不同立方布拉菲晶格的密勒指數選擇定則；以下是其種幾種晶格的選擇定則。

密勒指數的選擇定則

布拉菲晶格	化合物例子	可行反射	不可行反射
簡單立方	釙、氯化鉀	任何h、k、l	無
體心立方	鐵、鎢、鉭、鉻	h + k + l 為偶數	h + k + l 為奇數
面心立方	銅、鋁、鎳、氯化鈉、氫化鋰、硫化鉛	h、k、l皆為奇數或偶數	h、k、l當中有奇數也有偶數
金刚石型	硒化鋅、氯化銅、碘化銀、氟化銅、硅、鍺	皆為奇數，或皆為偶數且h+k+l = 4n	同上，或皆為偶數但h+k+l ≠ 4n
三角点阵（英语：Hexagonal lattice）	鈦、鋯、鎘、鈹	l為偶數或h + 2k ≠ 3n	l為奇數且h + 2k = 3n

這些選擇定則可用於對應晶體結構下的任何晶體。儘管氯化鈉呈現面心立方的結構，但是由於氯離子跟鈉離子的大小相近，因此繞射圖樣實質上跟簡單立方結構一致，只是各項晶體參數都小了一半。其他結構的選擇定則可在各種相關的參考文獻中找到，也可以自行推導出來。

另見

• 晶格
• 繞射
• 分散式布拉格反射器
• 光纖布拉格光柵（英语：Fiber Bragg grating）
• 亨德森極限（英语：Henderson limit）
• 繞射的動力學理論（英语：Dynamical theory of diffraction）
• 勞厄方程式
• 粉末繞射（英语：Powder diffraction）
• 結構因子
• 威廉·勞倫斯·布拉格
• X射線晶體學

參考資料

1. John M. Cowley (1975) Diffraction physics (North-Holland, Amsterdam) ISBN 0-444-10791-6.
2. 例如，見使用布拉格定律計算原子間距離的例子 互联网档案馆的，存档日期2011-07-10.。
3. 有一些資料來源，例如《美國學術百科》，把這項發現歸功於威廉·勞倫斯·布拉格及其父威廉·亨利·布拉格，然而 諾貝爾獎官方網站 （页面存档备份，存于互联网档案馆）及關於他的傳記 ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 and "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) 都有明確指出，威廉·勞倫斯·布拉格是獨立地推導出這條定律的。
4. H. P. Myers. Introductory Solid State Physics. Taylor & Francis. 2002. ISBN 0-7484-0660-3. 
5. Carl. R. Nave. . HyperPhysics, Georgia State University. [2008-07-19]. （原始内容存档于2020-11-12）. 
6. Pieranski, P. Colloidal Crystals. Contemporary Physics. 1983, 24: 25. Bibcode:1983ConPh..24...25P. doi:10.1080/00107518308227471. 
7. Hiltner, PA; IM Krieger. Diffraction of Light by Ordered Suspensions. Journal of Physical Chemistry. 1969, 73: 2306.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
8. Aksay, IA. Microstructural Control through Colloidal Consolidation. Proceedings of the American Ceramic Society. 1984, 9: 94. 
9. Luck, W. et al., Ber. Busenges Phys. Chem. , Vol. 67, p.84 (1963)

延伸閱讀

• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg, W.L. The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1913, 17: 43–57. 

外部連結

• 1915年諾貝爾物理學獎 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）