微分叠

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。^[1]

微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、^[2]泊松流形^[3]和扭K理论中都有应用。^[4]

定义

定义1（由广群纤维化）

回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 、到微分流形范畴的函子${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$ ，并满足

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 是纤维范畴，即对任意对象${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}}$ 和任意箭头${\displaystyle V\to U\ \in \mathrm {Mfd} }$ ，都有箭头${\displaystyle v\to u}$ ，在${\displaystyle V\to U}$ 上；
2. 对${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ 中的任意交换三角${\displaystyle W\to V\to U}$ 及${\displaystyle W\to U}$ 上的任意箭头${\displaystyle w\to u}$ 、${\displaystyle V\to U}$ 上的${\displaystyle v\to u}$ ，在${\displaystyle W\to V}$ 上存在唯一的箭，使三角${\displaystyle w\to v\to u}$ 交换。

这些性质确保${\displaystyle \forall U\in \mathrm {Mfd} }$ ，都可以定义其纤维${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ 或${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$ ，作为${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的子范畴，由${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 在U上的所有对象和在${\displaystyle id_{U}}$ 上的所有态射组成。根据这构造，${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ 是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其切片范畴（英语：Overcategory） ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$ ，对象是流形U与光滑映射${\displaystyle f:U\to X}$ 组成的对子${\displaystyle (U,f)}$ ；则${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$ 是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 若满足以下条件，则称作可表浸没：

• 对流形U和任意态射${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$ ，纤维积${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$ 可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的${\displaystyle F_{V}}$ 同构；
• 诱导光滑映射${\displaystyle V\to U}$ 是浸没。

对流形X，微分叠是叠${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$ 与特殊的可表浸没${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ （上述每个浸没${\displaystyle V\to U}$ 都需要是满射）。映射${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ 称作叠X的图集、呈现或覆叠。^[5][6]

定义2（由2-函子）

回想范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ，其中${\displaystyle \mathrm {Grp} }$ 是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ 定义了叠${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$ ，与另一对象${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ 关联，形成态射${\displaystyle N\to M}$ 的广群${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$ 。现有叠${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ，若有对象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ 与叠的态射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ （常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：

• 态射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ 可表，即${\displaystyle \forall Y\in {\mathcal {C}}}$ 和任何态射${\displaystyle Y\to X}$ ，纤维积${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$ 同构于作为叠的${\displaystyle {\underline {Z}}}$ （对某对象Z）；
• 诱导态射${\displaystyle Z\to Y}$ 满足取决于范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的范畴（如对流形，是要满足浸没。

微分叠是${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$ （微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ，其也满足几何性，即承认上面定义的图集${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ 。^[7][8]

注意，将${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ 换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ 换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

定义3（由森田等价）

回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没${\displaystyle s,t:G\to M}$ 、偏乘法映射${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$ 、单位映射${\displaystyle u:M\to G}$ 、逆映射${\displaystyle i:G\to G}$ ，满足类似群的相容性。

两个李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ 、${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ 间若有主双丛P，即有主右H丛${\displaystyle P\to M}$ 、主左G丛${\displaystyle P\to N}$ ，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

微分叠记作${\displaystyle [M/G]}$ ，是某李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ 的森田等价类。^[5][9]

定义1、2的等价性

任何纤维范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$ 都定义了2-层${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$ 。反过来，任何预叠${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ 给出了范畴${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ，其对象是流形U与对象${\displaystyle x\in X(U)}$ 的对子${\displaystyle (U,x)}$ ，态射是映射${\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}$ ，使${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$ 。这样的${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 配备函子${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$ 后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。^[5]

定义2、3的等价性

李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ 给出了微分叠${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ 的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ 都是${\displaystyle BG}$ 形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ 是叠X的图集，则可定义李群胚${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$ ，并检查${\displaystyle BG_{X}}$ 是否同构于X。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。^[10]

示例

• 任何流形M定义了微分叠${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}$ ，由恒等映射${\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}$ 平凡地表示。叠${\displaystyle {\underline {M}}}$ 对应单位广群${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$ 的森田等价类。
• 李群G定义了微分叠${\displaystyle BG}$ ，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射${\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}$ 表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠${\displaystyle BG}$ 对应${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ 的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类）。
• 流形M上的叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ 的森田等价类。
• 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。

商微分叠

给定M上的李群作用${\displaystyle a:M\times G\to M}$ ，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴${\displaystyle P\to X}$ 和G-等价映射${\displaystyle \phi :P\to M}$ 相联系的叠${\displaystyle [M/G]}$ ，是由叠态射${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$ 表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

 

其中${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$ 是G-等价映射${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$ 。^[7]

叠${\displaystyle [M/G]}$ 对应作用广群${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$ 的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

• 若M是点，则微分叠${\displaystyle [M/G]}$ 与${\displaystyle BG}$ 重合
• 若作用是半正则紧合作用（于是商${\displaystyle M/G}$ 是流形），则微分叠${\displaystyle [M/G]}$ 与${\displaystyle {\underline {M/G}}}$ 重合
• 若作用是紧合作用（于是商${\displaystyle M/G}$ 是轨形），则微分叠${\displaystyle [M/G]}$ 与轨形定义的叠重合

微分空间

微分空间（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若李群半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。

配备格罗滕迪克拓扑

微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑，这给出了X上的层概念。例如，X上微分p形式的层${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ 可由流形U上${\displaystyle \forall x\in X}$ 给出，使${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$ 为U上p形式的空间。层${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$ 称作X上的结构层，表示为${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 。${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ 带有外微分，因此是X上向量空间的复层：于是有了X的德拉姆上同调的概念。

束

现有微分叠间的满态射${\displaystyle G\to X}$ ，若${\displaystyle G\to G\times _{X}G}$ 也是满态射，则前者称作X上的束。例如，若X是叠，则${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$ 是束。Giraud提出的一条定理称，${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$ 一一对应于局部同构于${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$ 的X上的束集，束有其带（band）的平凡化。^[11]

参考文献

1. Blohmann, Christian. Stacky Lie Groups. International Mathematics Research Notices. 2008-01-01, 2008 [2023-12-15]. ISSN 1687-0247. arXiv:math/0702399  . doi:10.1093/imrn/rnn082. （原始内容于2022-12-08） （英语）. 
2. Moerdijk, Ieke. Foliations, groupoids and Grothendieck étendues. Rev. Acad. Cienc. Zaragoza. 1993, 48 (2): 5–33. MR 1268130. 
3. Blohmann, Christian; Weinstein, Alan. Group-like objects in Poisson geometry and algebra. Poisson Geometry in Mathematics and Physics. Contemporary Mathematics 450. American Mathematical Society. 2008: 25–39. ISBN 978-0-8218-4423-6. S2CID 16778766. arXiv:math/0701499  . doi:10.1090/conm/450 （英语）. 
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6. Grégory Ginot, Introduction to Differentiable Stacks (and gerbes, moduli spaces …) （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2013
7. Jochen Heinloth: Some notes on differentiable stacks （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.
8. Eugene Lerman, Anton Malkin, Differential characters as stacks and prequantization, 2008
9. Ping Xu, Differentiable Stacks, Gerbes, and Twisted K-Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2017
10. Pronk, Dorette A. Etendues and stacks as bicategories of fractions. Compositio Mathematica. 1996, 102 (3): 243–303 [2023-12-15]. （原始内容于2023-10-11） –通过Numérisation de documents anciens mathématiques.​（法语）. 
11. Giraud, Jean. Cohomologie non abélienne. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 1971, 179. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN 0072-7830. doi:10.1007/978-3-662-62103-5 （英国英语）. 

外部链接

• http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack （页面存档备份，存于互联网档案馆）