叶状结构

在数学上，叶状结构（foliation）研究几何的一个工具。非正式地说，一个叶状结构是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构。这个乘积结构不用在局部区域之外一致(也就是不用有良定义的整体结构)：沿着一个条纹走足够远可能回到一个不同的邻近的条纹。

定义

正式來說，${\displaystyle n}$ 維流形${\displaystyle M}$ 中的${\displaystyle p}$ 維葉狀結構是一個由坐标卡${\displaystyle U_{i}}$ 和映射${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 得到的覆疊空間，使得轉移映射${\displaystyle \varphi _{ij}=\phi _{j}\phi _{i}^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 具有如下形式：

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y)),}$ 

其中${\displaystyle x}$ 是前個${\displaystyle n-p}$ 坐標，${\displaystyle y}$ 則是後${\displaystyle p}$ 個坐標，而映射的定義域和對應域為

${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}:\mathbb {R} ^{n-p}\to \mathbb {R} ^{n-p},}$ 

${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.}$ 

在坐标卡${\displaystyle U_{i}}$ 上,条纹 ${\displaystyle x=}$ 常数和其他坐标卡${\displaystyle U_{j}}$ 上的条纹吻合.

技术上，这些条纹称为叶状结构的斑(plaques)。在每个坐标卡内，斑是${\displaystyle n-p}$ 维子流形。这些子流形从一个坐标卡到另一个坐标卡的拼起来就构成了最大连通子流形，称为叶状结构的叶(leaves)。

例子

例1

${\displaystyle n}$  维空间，可以分层为前n-p个坐标为常数的点组成的子空间的积。这可以用一个坐标卡来覆盖。

例2

如${\displaystyle M\to N}$ 是流形之间的覆盖，而${\displaystyle F}$ 是${\displaystyle N}$ 上的叶状结构,则它拉回到${\displaystyle M}$ 上成为一个叶状结构。更一般的，如果一个映射只是有分支的覆盖，而分支轨迹和叶状结构交叉，则叶状结构可以被拉回(pull back)。

例3

若${\displaystyle G}$ 为李群，而${\displaystyle H}$ 通过将G的李代数的一个闭子代数指数化得到的子群，则 ${\displaystyle G}$ 通过${\displaystyle H}$ 的陪集(coset)叶状化。

可积性

假设每个对象都是光滑的，叶状结构和向量场有紧密的关系:给定一个向量场${\displaystyle X}$ 在${\displaystyle M}$ 上，且处处不为0，其积分曲线给出一个1维叶状结构。(也就是余维n-1的叶状结构).

这个事实可以推广到Ferdinand Georg Frobenius(弗罗贝尼乌斯)的一个定理 (Frobenius定理), 它说一个分布(也就是，切丛的一个n-p维子丛)和一个叶状结构的叶相切的充分必要条件是和该分相切的向量场的集合在李括号下封闭。也可以用不同的表达，把它作为切丛的结构群从${\displaystyle GL(n)}$ 到一个可归约子群的约化(reduction)。

Frobenius定理的条件象可积性条件一样；它断言如果那些条件满足归约可以发生因为满足所需的块结构的局部变换函数存在。

这是一个全局叶状结构理论，因为有拓扑约束存在。例如在曲面情况，一个处处非0的向量场在可定向紧曲面上只有在曲面是环的情形存在。这是Poincaré-Hopf指标定理的结果,定理表明欧拉示性数在这种情况下必须为 0。

参看

• Frobenius定理
• G结构
• 用叶状结构分类空间
• Reeb叶状结构
• 紧叶状结构(Taut foliation)