幻方

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从${\displaystyle 1}$到${\displaystyle N^{2}}$的连续整数组成，其中${\displaystyle N}$为正方形的行或列的数目。因此${\displaystyle N}$阶幻方有${\displaystyle N}$行${\displaystyle N}$列，并且所填充的数为从${\displaystyle 1}$到${\displaystyle N^{2}}$。

洛書（九数图），朱熹《周易本義》

幻方可以使用${\displaystyle N}$阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数${\displaystyle M_{2}(N)}$，如果填充数为${\displaystyle 1,2,\dots ,N^{2}}$，那么有

${\displaystyle M_{2}(N)={\frac {N(N^{2}+1)}{2}}}$

幻方简史

《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。

九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。

後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宫图，為${\displaystyle 1,\dots ,9}$ 这${\displaystyle 9}$ 个数，而${\displaystyle 3}$ 行、${\displaystyle 3}$ 列以及两对角线上各自的数之和均为15。

杨辉纵横图

 

杨辉纵横图

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

构造法

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、${\displaystyle 4M}$ 阶幻方和${\displaystyle 4M+2}$ 阶幻方，其中${\displaystyle M}$ 为自然数，${\displaystyle 2}$ 阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

奇数阶幻方构造法

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

• 把${\displaystyle 1}$ 放置在第一行的中间。
• 顺序将${\displaystyle 2,3,\dots }$ 等数放在右上方格中。
• 当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
• 当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
• 按照以上步骤直到填写完所有${\displaystyle N^{2}}$ 个方格。

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图${\displaystyle 5}$ 阶幻方为例，${\displaystyle 1}$ 填写在${\displaystyle (1,3)}$ （第一行第三列）的位置上；${\displaystyle 2}$ 应当填写在其右上方格即${\displaystyle (0,4)}$ 中，由于${\displaystyle (0,4)}$ 超出顶边界，所以从最底行进入，即${\displaystyle (5,4)}$ ；${\displaystyle 3}$ 填写在${\displaystyle (5,4)}$ 的右上方格${\displaystyle (4,5)}$ 中；${\displaystyle 4}$ 填写在${\displaystyle (4,5)}$ 的右上方格${\displaystyle (3,6)}$ 中，由于${\displaystyle (3,6)}$ 超出右边界，所以从最左列进入，即${\displaystyle (3,1)}$ ；${\displaystyle 5}$ 填写在${\displaystyle (3,1)}$ 的右上方格${\displaystyle (2,2)}$ 中；${\displaystyle 6}$ 应该填写的方格${\displaystyle (1,3)}$ 已经被${\displaystyle 1}$ 所占据，因此填写在${\displaystyle (2,2)}$ 的正下方格${\displaystyle (3,2)}$ 中；按照上面的步骤直到所有数填入。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}47&58&69&80&1&12&23&34&45\\57&68&79&9&11&22&33&44&46\\67&78&8&10&21&32&43&54&56\\77&7&18&20&31&42&53&55&66\\6&17&19&30&41&52&63&65&76\\16&27&29&40&51&62&64&75&5\\26&28&39&50&61&72&74&4&15\\36&38&49&60&71&73&3&14&25\\37&48&59&70&81&2&13&24&35\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle 3}$ 阶	${\displaystyle 5}$ 阶	${\displaystyle 9}$ 阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}15&6&19&2&23\\16&12&25&8&4\\9&5&13&21&17\\22&18&1&14&10\\3&24&7&20&11\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle 5}$ 阶

偶数阶幻方构造法

${\displaystyle 4M}$ 阶幻方构造法

对于${\displaystyle 4M}$ 阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。将它分割成${\displaystyle M^{2}}$ 个${\displaystyle 4\times 4}$ 区块，再将其每一个区块的非主副对角线上的各个数关于中心对调即可。
如4阶幻方的排列法：
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}}$ 
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&15&14&4\\12&6&7&9\\8&10&11&5\\13&3&2&16\end{bmatrix}}}$ 
八阶幻方构造如下
${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]}$ 
即：
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle 4M+2}$ 阶幻方构造法

加边法

以${\displaystyle 6}$ 阶为例子，先排出${\displaystyle 4}$ 阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上${\displaystyle 8m+2=10}$ ，有下图：
${\displaystyle {\begin{bmatrix}11&25&24&14\\22&16&17&19\\18&20&21&15\\23&13&12&26\end{bmatrix}}}$ 

在外围加上一圈格子，把${\displaystyle 1,2,3,\dots ,8m+2}$ 和${\displaystyle 16m^{2}+8m+3,16m^{2}+8m+4,\dots ,(4m+2)^{2}}$ 这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于${\displaystyle 16m(m+1)+5}$ 。对于${\displaystyle m=1}$ 这些数是：${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ ；${\displaystyle 27,28,29,30,31,32,33,34,35,36}$ 。
结果如下：
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&34&33&32&2\\6&11&25&24&14&31\\10&22&16&17&19&27\\30&18&20&21&15&7\\29&23&13&12&26&8\\35&28&3&4&5&36\end{bmatrix}}}$ 

LUX法

在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其余格點標上「L」；在第M+2行的中间格點標上「L」，其余格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

 4 1 1 4 1 4 L U X 2 3 2 3 3 2 

例子：

[ 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 ] 17L 24L 1L 8L 15L [ 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 ] [ 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 ] 23L 5L 7L 14L 16L [ 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 ] [ 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 ] 4L 6L 13U 20L 22L [ 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 ] [ 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 ] 10U 12U 19L 21U 3U [ 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 ] [ 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 ] 11X 18X 25X 2X 9X [ 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34 ] 

編程語言參考實現

四階幻方全解搜索(C/C++)^{[1][需要較佳来源]}

#include<stdio.h> int a[17],b[17],m; void s(int i) { /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/  int n=0,j=0;  while(++j<17)  if(!a[j])  {  a[b[i]=j]=1;  switch(i)  {  case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;  case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;  case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;  case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;  case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;  case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);  }  a[j]=0;  } } int main(void) {  s(1);  printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);  return 0; } 

奇數階幻方算法的Java語言實現

/** * @author: contribute to wikipedia according GNU * @description:用於創建奇數階的幻方 */ public class magic_squre_odd {  static int[][] matrix;  static int n;  public static void magic_squre_odd_generate()  { matrix = new int[n][n];  //所有的數初始化為0  matrix[0][(n-1)/2] = 1;  int x = 0,y = (n-1)/2;  //count:記住已經插入過的數  for(int count = 2; count<=n*n;count++)  while(true)  {  //先x-1 y+1  x--;  y++;  //判斷是否可以插入  while(true)  {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止  //判斷是否越界：  //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue  if(x<0)  {  x += n;  continue;  }  //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue  if(y>=n)  {  y -= n;  continue;  }  //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位  //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue  if (y<0){y+=n;continue;}  if(matrix[x][y] != 0 )  {  x += 2;y -= 1;  if (x>=n){x-=n;continue;}  if (y<0){y+=n;continue;}  continue;  }  break;  }  //將當前的count值賦給選出的空位  matrix[x][y]= count;  break;  }  }  public static void print()  {  for(int i = 0; i < n; i++)  {  for(int j = 0; j < n; j++)  {  //System.out.println(matrix[i][j]);  System.out.print(matrix[i][j]);  System.out.print("_");  }  System.out.println();  }  }  public static void main(String[] args)  { //手工輸入n的值，並確保為奇數  n = 11;  magic_squre_odd_generate();  print();  } } 

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果： 

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66 80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54 

${\displaystyle 4}$ 階幻方算法的Java語言實現

 /**  * @author: contribute to wikipedia according GNU  * @description:用於創建4階的幻方  *  */  public class magic_square_4m {  /**  * @param args  */  static int matrix[][];  static int n;  static void magic_squre_4m_generate()  {  //初始化matrix  matrix = new int[n][n];  //將matrix裡的位置用數順序排列  int ini = 0;  for(int i = 0; i < n; i++)  for(int j = 0; j < n; j++)  matrix[i][j] = ++ini;    //輸出對調前的樣子  System.out.println("對調之前的樣子：");  print();    //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）  for(int i = 0; i < n; i++)  for(int j = i + 1; j < n; j++)  {  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )  { //對不在主付對角線上的數關於中心對調  int temp;  temp = matrix[i][j];  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;  }  }  }    public static void print()  {  for(int i = 0; i < n; i++)  {  for(int j = 0; j < n; j++)  {  System.out.print(matrix[i][j]);  System.out.print("_");  }  System.out.print("\n");  }  }    public static void main(String[] args) {  //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方   n = 4;  magic_squre_4m_generate();  System.out.println("對調之後的樣子：");  print();  }  } 

以下是本算法輸出的結果： 

對調之前的樣子： 1_2_3_4_ 5_6_7_8_ 9_10_11_12_ 13_14_15_16_ 對調之後的樣子： 1_15_14_4_ 12_6_7_9_ 8_10_11_5_ 13_3_2_16_ 

研究价值

知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。^[2]

对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方陣和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。

艺术与流行文化

• 德国画家与雕刻家阿尔布雷希特·丢勒曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件MATLAB加入自己的帮助文档中。^{[來源請求]}

参见

• 九宫图
• 九宫算
• 洛书
• 幻圆
• 素数倒数幻方
• 數獨
• 未解决的数学问题
• 吠陀方形
• Frenicle 标准型式
• 数字推盘游戏
• 泛對角幻方

參考資料

引用

1. "所有四阶幻方". [2017-01-11]. （原始内容于2017-01-13） （中文（中国大陆））. 
2. 黄且圆. 陈省身：如何做“好的数学”. 2015年3月2日 [2019年9月29日]. （原始内容于2019年9月29日） （中文（中国大陆））. 可惜幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地，另外一个奇迹，所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数，数学上称之为圆周率，记作。这个结果可重要了，因为这个数渗透了整个数学！...幻方只是一个偶然现象，虽很巧妙，但不属于好的数学。  |journal=被忽略 (帮助)

延伸阅读

• 高治源. 九宫图探秘. 香港天马图书有限公司. 2004 （中文（香港））. 
• 张道鑫. 素数幻方. 香港天马图书有限公司. 2003 （中文（香港））. 
• 李杭强. 趣味数学幻方. 香港天马图书有限公司. 2002 （中文（香港））. 
• 林正禄. 开拓智力的奇方——幻方. 香港天马图书有限公司. 2001 （中文（香港））. 

外部链接

•  中國數學史主题