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幻圆

十二月 03, 2023

幻圆是组合数学的一个分枝，将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字和也相同。著名的同心幻圆有南宋数学家杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图。

南宋杨辉幻圆包含的幻数“69”多达16个
幻圆变化之一

杨辉幻圆 编辑

楊辉《续古摘奇算法》有聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图，连环图。

攒九图 编辑

楊辉《续古摘奇算法》中的攒九图以自然数1至33构成，9在圆心，其余排列在四个同心圆上，每圈8个数[1]。杨辉有如下攒九图奇妙特点；

  • 四条直径上数字之和是147，
    • 28+5+11+25+9+7+19+31+12=147
  • 四个圆周上数字之和加圆心9之和也是147。
    • 28+27+20+33+12+4+6+8+9=147
  • 八条半径线上数字（不包括9）之和=69
    • 27+15+3+24=69
  • 四个圆周上数字之和（不包括9）=八条半径线上数字和的两倍。
杨辉攒九图之构造

杨辉书中未曾说明幻圆的构造方法。新加坡大学蓝丽蓉教授[2] 建议将八组半径数字分为两组，构成两个四阶幻方，例如；

 

 

由于这两个四阶幻方纵数横数之和都是69，只需从第一幻方和第二幻方中随意各取一行，或随意各取一列，构成同一条直径上的两对半径，一共组成四条直径，每直径8个数，最后在圆心安方9，就不但可以排出杨辉幻圆；而且可以排除许许多多不同排列的幻园。此外，由于数字的和与数字的次序无关，因此；

  • 任何两组半径数字，可以互换位置，
  • 8组半径数字，在可以在圆圈上任意排列，
  • 任何两组园圈，可以互换位置。

杨辉幻圆真是富于变化。如果限制四个圆周上必须有两个同和半圆(半圆上的四个数字之和必须=69)，杨辉幻圆上的半径位置就不可调换。如此一来，杨辉幻圆可以有

  • 8条同和半径；28+5+11+25=69，20+16+23+10=69，……
  • 8条同和半圆； 27+28+8+6=69，20+33+12+4=69,15+5+17+32=69，21+32+1+16=69……

具有16个同和线段（和数为69）的幻圆不止一个，可依靠四个圆圈的不同排列得到，共有4x3x2=24种。

杨辉八阵图 编辑

 
杨辉八阵图

1至64， 64数字分为八个圆圈，每个圆圈内数目之和=260。 从西北角顺时针方向各小圆之和为：

   

   

 

 

 

 

又东西方向和南北方向的八个数字之和也是260：

 

 

此外两条对角线的16个数字之和为260的两倍：  

杨辉连环图 编辑

 
杨辉连环图

1至72，共72个数字分为9个圆圈，排列成方阵如图。

此连环图奇妙之处在于连环生圈：由于左右相邻的四个圈的数字连环，又多出4个 8字圆圈

连环圈由有以下相邻的8字圈连环组成:

（东北，北，东，中）
（西北，北，西，中）
（东南，南，东，中）
（西南，南，西，中）

一共13个八字圈： ：西北，北，东北，东，东南，南，西南，西，中，（东北，北，东，中），（西北，北，西，中），（东南，南，东，中），（西南，南，西，中）

  • 13个八字圈中任何一个八字圈的数字之和=292
  • 横向三个八字圈24个数字之和=876
  • 纵向三个八字圈24个数字之和=876
  • 对角线上三个八字圈24个数字之和=876

丁易东幻圆 编辑

 
南宋丁易东太衍五十图

南宋数学家丁易东是杨辉同时代人，以自然数1至49作出六同心圆幻圆，称之为太衍五十图[3]。

丁易东幻圆特性；

  • 各圆周数字之和为200
    • 3+4+49+2+47+46+1+48=200;
    • 13+14+39+12+37+36+11+38=200;
    • ……
  • 每圆周上的一个数与其相对点上数字之和=50；
    • 3+47=50，13+37=50……
  • 四条直径上数字之和为325
    • 据上条，6x50+25=325。

丁易东幻圆的构造 编辑

丁易东给出把三阶幻方洛书变化为六阶幻园太衍五十图的的奇妙方法；

将从1至49的数字分成以下9组

  • 凡个位数为1数按大小次序排为一组：1，11，21，31，41
  • 凡个位数为2数按大小次序排为一组：2，12，22，32，42
  • 凡个位数为3数按大小次序排为一组：3，13，23，33，43
  • 凡个位数为4数按大小次序排为一组：4，14，24，34，44
  • 凡个位数为6数按大小次序排为一组：6，16，26，36，46
  • 凡个位数为7数按大小次序排为一组：7，17，27，37，47
  • 凡个位数为8数按大小次序排为一组：8，18，28，38，48
  • 凡个位数为9数按大小次序排为一组：9，19，29，39，49
  • 5及其倍数按大小次序排为一组：5，10，15，20，25，30，35，40，45

按洛书口诀：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”排列数字组：

  • 戴九：将“9字组”9，19，29，39，49 排在最顶部，49在上，循序循半径往下排列，
  • 履一，将“1字组”1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半径往上排列，
  • 左三：将“3字组"3，13，23，33，43排在左边，
  • 右七，将“3字组"：7，17，27，37，47排在右边，
  • 二四为肩，将“2字组”2，12，22，32，42，“4字组”4，14，24，34，44按络书方位排列在左上右上。
  • 六八为足：将“6字组”6，16，26，36，46，“8字组”8，18，28，38，48按络书方位排列在左下右下。
  • 最后“5”字组5，10，15，20，25，30，35，40，45各数对应其1/5的数字组排列在最内一个圆上：
    • 5的1/5=1，排在“1字组”
    • 10的1/5=2，排在“2字组”……

程大位幻圆 编辑

聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图[4]。

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参考文献 编辑

  1. ^ 吴文俊主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第六篇 《杨辉》 第二节 《幻圆》 第641页 图6 5 19，（图中数字32出现两次缺数字31，系笔误或版误）ISBN 7-303-04926-6/O
  2. ^ Lam Lay Yong: A CRITICAL STUDY OF HANG HUI SUAN FA 《杨辉算法》 SINGAPORE UNIVERSITY PRESS 1977
  3. ^ 吴文俊主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第七篇 第一节 第691-692页
  4. ^ 程大位 《算法统宗》
  • 《杨辉算法》 孙宏安 译注 辽宁教育出版社 1997
  • 《杨辉算法导读》 郭熙汉 湖北教育出版社 1996

十二月 03, 2023
幻圆, 是组合数学的一个分枝, 将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上, 使各圆周上数字之和相同, 几条直径上的数字和也相同, 著名的同心有南宋数学家杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图, 南宋杨辉包含的幻数, 多达16个变化之一, 目录, 杨辉, 攒九图, 杨辉八阵图, 杨辉连环图, 丁易东, 丁易东的构造, 程大位, 参考文献杨辉, 编辑楊辉, 续古摘奇算法, 有聚五图, 聚六图, 聚八图, 攒九图, 八阵图, 连环图, 攒九图, 编辑, 楊辉, 续古摘奇算法, 中的攒九图以自然数1至33构成, 9在圆心, 其余排. 幻圆是组合数学的一个分枝 将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上 使各圆周上数字之和相同 几条直径上的数字和也相同 著名的同心幻圆有南宋数学家杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图 南宋杨辉幻圆包含的幻数 69 多达16个幻圆变化之一 目录 1 杨辉幻圆 1 1 攒九图 1 2 杨辉八阵图 1 3 杨辉连环图 2 丁易东幻圆 2 1 丁易东幻圆的构造 3 程大位幻圆 4 参考文献杨辉幻圆 编辑楊辉 续古摘奇算法 有聚五图 聚六图 聚八图 攒九图 八阵图 连环图 攒九图 编辑 楊辉 续古摘奇算法 中的攒九图以自然数1至33构成 9在圆心 其余排列在四个同心圆上 每圈8个数 1 杨辉有如下攒九图奇妙特点 四条直径上数字之和是147 28 5 11 25 9 7 19 31 12 147 四个圆周上数字之和加圆心9之和也是147 28 27 20 33 12 4 6 8 9 147 八条半径线上数字 不包括9 之和 69 27 15 3 24 69 四个圆周上数字之和 不包括9 八条半径线上数字和的两倍 杨辉攒九图之构造杨辉书中未曾说明幻圆的构造方法 新加坡大学蓝丽蓉教授 2 建议将八组半径数字分为两组 构成两个四阶幻方 例如 28 5 11 25 27 15 3 24 6 32 29 2 8 17 26 18 displaystyle begin bmatrix 28 amp 5 amp 11 amp 25 27 amp 15 amp 3 amp 24 6 amp 32 amp 29 amp 2 8 amp 17 amp 26 amp 18 end bmatrix nbsp 12 31 19 7 4 21 14 30 20 16 23 10 33 1 13 22 displaystyle begin bmatrix 12 amp 31 amp 19 amp 7 4 amp 21 amp 14 amp 30 20 amp 16 amp 23 amp 10 33 amp 1 amp 13 amp 22 end bmatrix nbsp 由于这两个四阶幻方纵数横数之和都是69 只需从第一幻方和第二幻方中随意各取一行 或随意各取一列 构成同一条直径上的两对半径 一共组成四条直径 每直径8个数 最后在圆心安方9 就不但可以排出杨辉幻圆 而且可以排除许许多多不同排列的幻园 此外 由于数字的和与数字的次序无关 因此 任何两组半径数字 可以互换位置 8组半径数字 在可以在圆圈上任意排列 任何两组园圈 可以互换位置 杨辉幻圆真是富于变化 如果限制四个圆周上必须有两个同和半圆 半圆上的四个数字之和必须 69 杨辉幻圆上的半径位置就不可调换 如此一来 杨辉幻圆可以有 8条同和半径 28 5 11 25 69 20 16 23 10 69 8条同和半圆 27 28 8 6 69 20 33 12 4 69 15 5 17 32 69 21 32 1 16 69 具有16个同和线段 和数为69 的幻圆不止一个 可依靠四个圆圈的不同排列得到 共有4x3x2 24种 杨辉八阵图 编辑 nbsp 杨辉八阵图1至64 64数字分为八个圆圈 每个圆圈内数目之和 260 从西北角顺时针方向各小圆之和为 40 24 9 56 41 25 8 57 260 displaystyle 40 24 9 56 41 25 8 57 260 nbsp 14 51 46 30 3 62 35 19 260 displaystyle 14 51 46 30 3 62 35 19 260 nbsp 45 29 4 61 36 20 13 52 260 displaystyle 45 29 4 61 36 20 13 52 260 nbsp 37 21 12 53 44 28 5 60 260 displaystyle 37 21 12 53 44 28 5 60 260 nbsp 47 31 2 63 34 18 15 50 260 displaystyle 47 31 2 63 34 18 15 50 260 nbsp 7 58 39 23 10 55 42 26 260 displaystyle 7 58 39 23 10 55 42 26 260 nbsp 38 22 11 54 43 27 6 59 260 displaystyle 38 22 11 54 43 27 6 59 260 nbsp 48 32 1 64 33 17 16 49 260 displaystyle 48 32 1 64 33 17 16 49 260 nbsp 又东西方向和南北方向的八个数字之和也是260 14 51 62 3 7 58 55 10 260 displaystyle 14 51 62 3 7 58 55 10 260 nbsp 49 16 1 64 60 5 12 53 260 displaystyle 49 16 1 64 60 5 12 53 260 nbsp 此外两条对角线的16个数字之和为260的两倍 40 57 41 56 50 47 34 63 29 4 13 20 22 11 6 27 2 260 520 displaystyle 40 57 41 56 50 47 34 63 29 4 13 20 22 11 6 27 2 260 520 nbsp 杨辉连环图 编辑 nbsp 杨辉连环图1至72 共72个数字分为9个圆圈 排列成方阵如图 此连环图奇妙之处在于连环生圈 由于左右相邻的四个圈的数字连环 又多出4个 8字圆圈连环圈由有以下相邻的8字圈连环组成 东北 北 东 中 西北 北 西 中 东南 南 东 中 西南 南 西 中 一共13个八字圈 西北 北 东北 东 东南 南 西南 西 中 东北 北 东 中 西北 北 西 中 东南 南 东 中 西南 南 西 中 13个八字圈中任何一个八字圈的数字之和 292 横向三个八字圈24个数字之和 876 纵向三个八字圈24个数字之和 876 对角线上三个八字圈24个数字之和 876丁易东幻圆 编辑 nbsp 南宋丁易东太衍五十图南宋数学家丁易东是杨辉同时代人 以自然数1至49作出六同心圆幻圆 称之为太衍五十图 3 丁易东幻圆特性 各圆周数字之和为200 3 4 49 2 47 46 1 48 200 13 14 39 12 37 36 11 38 200 每圆周上的一个数与其相对点上数字之和 50 3 47 50 13 37 50 四条直径上数字之和为325 据上条 6x50 25 325 丁易东幻圆的构造 编辑 丁易东给出把三阶幻方洛书变化为六阶幻园太衍五十图的的奇妙方法 将从1至49的数字分成以下9组 凡个位数为1数按大小次序排为一组 1 11 21 31 41 凡个位数为2数按大小次序排为一组 2 12 22 32 42 凡个位数为3数按大小次序排为一组 3 13 23 33 43 凡个位数为4数按大小次序排为一组 4 14 24 34 44 凡个位数为6数按大小次序排为一组 6 16 26 36 46 凡个位数为7数按大小次序排为一组 7 17 27 37 47 凡个位数为8数按大小次序排为一组 8 18 28 38 48 凡个位数为9数按大小次序排为一组 9 19 29 39 49 5及其倍数按大小次序排为一组 5 10 15 20 25 30 35 40 45按洛书口诀 戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足 排列数字组 戴九 将 9字组 9 19 29 39 49 排在最顶部 49在上 循序循半径往下排列 履一 将 1字组 1 11 21 31 41作履 1排在最下 循序循半径往上排列 左三 将 3字组 3 13 23 33 43排在左边 右七 将 3字组 7 17 27 37 47排在右边 二四为肩 将 2字组 2 12 22 32 42 4字组 4 14 24 34 44按络书方位排列在左上右上 六八为足 将 6字组 6 16 26 36 46 8字组 8 18 28 38 48按络书方位排列在左下右下 最后 5 字组5 10 15 20 25 30 35 40 45各数对应其1 5的数字组排列在最内一个圆上 5的1 5 1 排在 1字组 10的1 5 2 排在 2字组 程大位幻圆 编辑聚五图 聚六图 聚八图 攒九图 八阵图 4 nbsp nbsp nbsp 参考文献 编辑 吴文俊主编 沈康身执笔 中国数学史大系 第六卷 第六篇 杨辉 第二节 幻圆 第641页 图6 5 19 图中数字32出现两次缺数字31 系笔误或版误 ISBN 7 303 04926 6 O Lam Lay Yong A CRITICAL STUDY OF HANG HUI SUAN FA 杨辉算法 SINGAPORE UNIVERSITY PRESS 1977 吴文俊主编 沈康身执笔 中国数学史大系 第六卷 第七篇 第一节 第691 692页 程大位 算法统宗 杨辉算法 孙宏安 译注 辽宁教育出版社 1997 杨辉算法导读 郭熙汉 湖北教育出版社 1996 取自 https zh wikipedia org w index php title 幻圆 amp oldid 51211656, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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