吠陀方形

吠陀方形（Vedic square）屬於古印度數學（英语：Indian mathematics），是9 × 9 乘法表的變形，每個數字都用乘積的數根來代替。換句話說，與乘積除以9以後的余数的概念接近，若是該乘積為9的倍數，其數根為9不為0。 吠陀方形中有許多幾何模式及對稱特性，其中有些模式會出現在傳統的伊斯蘭藝術^[1]。

標示吠陀方形中特定數字的位置，可以看出有某種軸對稱

${\displaystyle \circ }$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

代數性質

吠陀方形可以視為是幺半群${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ 的乘法表，其中${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$ 是整數除以9後所可能的餘數（運算元${\displaystyle \circ }$ 是指幺半群元素之間的抽象乘法）

若${\displaystyle a,b}$ 是${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$  的元素，則${\displaystyle a\circ b}$ 可以定義為${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$ ，其中元素9表示其除以9以後餘數為0，而不用傳統的0來表示。

這個幺半群不是數學上的群，因為不是每一個非零元素都有對應的逆元素，例如${\displaystyle 6\circ 3=9}$ ，但不存在${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$ 使得${\displaystyle 9\circ a=6.}$ 。

子集的性質

子集${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ 形成循環群。每一行及每一列都恰好有六個相異的數字，因此這個子集也是拉丁方陣。

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

三維的吠陀立方

吠陀立方定義為三維乘法表中，用每個乘積的數根來代替乘積^[2][3]。

相關條目

• 拉丁方陣
• 模運算（英语：Modular arithmetic）
• 幺半群

參考資料

1. 這個九九乘法表你小學沒背過！吠陀方形的千年奧秘. PanSci 泛科學. 2016-12-06 [2017-01-17]. （原始内容于2020-08-12） （中文（臺灣））. 
2. Chia-Yu Lin. Digital root patterns of three-dimensional space. rmm.ludus-opuscula.org. [2017-01-18]. （原始内容于2020-02-08）. 
3. 數字感有什麼用？他把風靡千年的吠陀方形變立體了！. PanSci 泛科學. 2016-12-31 [2017-01-17]. （原始内容于2020-10-01） （中文（臺灣））. 

• Deskins, W.E., Abstract Algebra, New York: Dover: 162–167, 1996, ISBN 0-486-68888-7 
• Pritchard, Chris, The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press: 119–122, 2003, ISBN 0-521-53162-4 
• Ghannam, Talal, The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications: 68–73, 2012, ISBN 978-1-4776-7841-1 
• Teknomo, Kadi, Digital Root: Vedic Square, 2005 [2017-01-17], （原始内容于2019-10-29） 
• Chia-Yu, Lin, Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space, Recreational Mathematics Magazine: 9–31, 2016 [2017-01-17], ISSN 2182-1976, （原始内容于2020-02-08）