1919年，挪威数学家瑋哥·布朗 （Viggo Brun ）证明了所有孪生素数 的倒数之和收敛 于一个数学常数 ，称为布朗常数（Brun's constant） ，记为B 2 （OEIS 數列A065421 ）。他的證明也對篩法 的發展造成歷史性的影響。
布朗常数 命名 數字 1.902160583 名稱 布朗常数 識別 發現 瑋哥·布朗 符號 B 2 {\displaystyle B_{2}} 位數 數列編號 A065421 性質 定義 ∑ p : p + 2 ∈ P ( 1 p + 1 p + 2 ) {\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}} 表示方式 值 1.902160583 二进制 1.11100110 1 … 八进制 1.71571776 7 … 十进制 1.90216058 3 … 十六进制 1.E6F3FEF7 …
數學描述 编辑 B 2 （OEIS 數列A065421 ）的形式如下：
B 2 = ( 1 3 + 1 5 ) + ( 1 5 + 1 7 ) + ( 1 11 + 1 13 ) + ( 1 17 + 1 19 ) + ( 1 29 + 1 31 ) + ⋯ {\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots } 以上收斂的結論，稱為布朗定理 。而所有素数 的倒数之和 则是发散的。假如以上的级数发散，则我们立刻就可以证明孪生素数猜想 。但由于它收敛，我们就不知道是否有无穷多 个孪生素数（若孪生素数之平方根 的倒數和發散，則亦可知其為無限多）。类似地，如果证明了布朗常数是无理数 ，也立刻就可以证明孪生素数猜想 。但如果它是有理数 ，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。
我们知道1.9 < B 2 ，但不知道是否能大于2。
數值估計 编辑 這數列收斂極慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十億項彼此相加後，其相對誤差值依舊超過5%。[1]
Thomas R. Nicely把孪生素数算到1014 ，估计布朗常数大约为1.902160578[1] 奔騰浮點除錯誤 ；之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1.6×1015 的孿生質數上，但這還不是截至目前為止最大的計算。
目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的，他们把孪生素数算到了1016 ：[2]
B 2 ≈ 1.902160583104.截至目前為止，對於布朗常數的估計如下：
年分 B 2 小於#的孿生質數數量 發現者 1976 1.902160540 1 × 1011 Brent 1996 1.902160578 1 × 1014 Nicely 2002 1.902160583104 1 × 1016 Sebah及Demichel
最後一項是根據小於 10 16 {\displaystyle 10^{16}} 外推 而來。Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在廣義黎曼猜想 成立的狀況下，B 2 < 2.1754；而在不假定任何條件的狀況下，B 2 < 2.347。[3]
除此以外，还有一个四胞胎素数的布朗常数 ，它是所有的四胞胎素数 的倒数之和，记为B 4 ：
B 4 = ( 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 ) + ( 1 11 + 1 13 + 1 17 + 1 19 ) + ( 1 101 + 1 103 + 1 107 + 1 109 ) + ⋯ {\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots } 它的值为
B 4 =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根據Nicely的說法，其誤差範圍的置信區間為99%。[1] 這常數不該跟也記做B 4 、對於形如 ( p , p + 4 ) {\displaystyle (p,p+4)} 表兄弟質數 的布朗常數 ( p , p + n ) {\displaystyle (p,p+n)} 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}}
延伸結果 编辑 設 C 2 = 0.6601 … {\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots } OEIS 數列A005597 ）為孿生質數常數 ，則有猜想認為
π 2 ( x ) ∼ 2 C 2 x ( log x ) 2 . {\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.} 特別地，對於任意充分大的 x 0 {\displaystyle x0} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
π 2 ( x ) < ( 2 C 2 + ε ) x ( log x ) 2 {\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}} 對於特殊情況，目前已有證明；在近期，Jie Wu正明說對於任意充分大的 x 0 {\displaystyle x0}
π 2 ( x ) < 4.5 x ( log x ) 2 {\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}} 其中4.5的部分相當於上述的 ε ≈ 3.18 {\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}
數學之外 编辑 Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium 處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz Intel Pentium 處理器的電腦 處理長除法 時一直出錯[4] 奔騰浮點除錯誤 受到揭發，並進而造成Intel的公關 災難。
另外Google 曾使用三個數學常數作為交易金額，而其中一個常數是布朗常數。Google曾在北電網路 的專利交易中出價1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常數的約略值。
参见 编辑 参考文献 编辑 Finch, S. R. "Brun's Constant." §2.14 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 133-135, 2003. Segal, B. "Généralisation du théorème de Brun." Dokl. Akad. Nauk SSSR, 501-507, 1930. 外部链接 编辑 ^ 1.0 1.1 1.2 Nicely, Thomas R. . Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory). 18 January 2010 [16 February 2010] . （原始内容存档于8 December 2013）. ^ Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Introduction to twin primes and Brun's constant computation. CiteSeerX 10.1.1.464.1118 ^ Klyve, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant. [24 May 2021] . （原始内容于2023-05-13）. ^ Nicely, Thomas. . trnicely.net. August 19, 2011 [June 18, 2019] . （原始内容存档于2019-06-18）.
布朗常数, 1919年, 挪威数学家瑋哥, 布朗, viggo, brun, 证明了所有孪生素数的倒数之和收敛于一个数学常数, 称为, brun, constant, 记为b2, oeis數列a065421, 他的證明也對篩法的發展造成歷史性的影響, 命名數字1, 902160583名稱識別發現瑋哥, 布朗符號b, displaystyle, 位數數列編號, a065421性質定義, displaystyle, limits, mathbb, left, frac, frac, right, 表示方式值1, 902. 1919年 挪威数学家瑋哥 布朗 Viggo Brun 证明了所有孪生素数的倒数之和收敛于一个数学常数 称为布朗常数 Brun s constant 记为B2 OEIS數列A065421 他的證明也對篩法的發展造成歷史性的影響 布朗常数命名數字1 902160583名稱布朗常数識別發現瑋哥 布朗符號B 2 displaystyle B 2 位數數列編號 A065421性質定義 p p 2 P 1 p 1 p 2 displaystyle sum limits p p 2 in mathbb P left frac 1 p frac 1 p 2 right 表示方式值1 902160583二进制1 11100110 1 八进制1 71571776 7 十进制1 90216058 3 十六进制1 E6F3FEF7 查论编 目录 1 數學描述 2 數值估計 3 延伸結果 4 數學之外 5 参见 6 参考文献 7 外部链接數學描述 编辑B2 OEIS數列A065421 的形式如下 B 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 29 1 31 displaystyle B 2 left frac 1 3 frac 1 5 right left frac 1 5 frac 1 7 right left frac 1 11 frac 1 13 right left frac 1 17 frac 1 19 right left frac 1 29 frac 1 31 right cdots nbsp 以上收斂的結論 稱為布朗定理 而所有素数的倒数之和则是发散的 假如以上的级数发散 则我们立刻就可以证明孪生素数猜想 但由于它收敛 我们就不知道是否有无穷多个孪生素数 若孪生素数之平方根的倒數和發散 則亦可知其為無限多 类似地 如果证明了布朗常数是无理数 也立刻就可以证明孪生素数猜想 但如果它是有理数 则仍然无法知道孪生素数是不是无限的 我们知道1 9 lt B2 但不知道是否能大于2 數值估計 编辑這數列收斂極慢 Thomas Nicely指出 即使在最初的十億項彼此相加後 其相對誤差值依舊超過5 1 Thomas R Nicely把孪生素数算到1014 估计布朗常数大约为1 902160578 1 Nicely在這過程中也發現了奔騰浮點除錯誤 之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1 6 1015的孿生質數上 但這還不是截至目前為止最大的計算 目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的 他们把孪生素数算到了1016 2 B2 1 902160583104 截至目前為止 對於布朗常數的估計如下 年分 B2 小於 的孿生質數數量 發現者1976 1 902160540 1 1011 Brent1996 1 902160578 1 1014 Nicely2002 1 902160583104 1 1016 Sebah及Demichel最後一項是根據小於10 16 displaystyle 10 16 nbsp 的孿生質數和1 830484424658 的外推而來 Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在廣義黎曼猜想成立的狀況下 B2 lt 2 1754 而在不假定任何條件的狀況下 B2 lt 2 347 3 除此以外 还有一个四胞胎素数的布朗常数 它是所有的四胞胎素数的倒数之和 记为B4 B 4 1 5 1 7 1 11 1 13 1 11 1 13 1 17 1 19 1 101 1 103 1 107 1 109 displaystyle B 4 left frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 frac 1 13 right left frac 1 11 frac 1 13 frac 1 17 frac 1 19 right left frac 1 101 frac 1 103 frac 1 107 frac 1 109 right cdots nbsp 它的值为 B4 0 87058 83800 0 00000 00005 根據Nicely的說法 其誤差範圍的置信區間為99 1 這常數不該跟也記做B4 對於形如 p p 4 displaystyle p p 4 nbsp 的質數對倒數和的表兄弟質數的布朗常數搞混 倭爾夫 Wolf 估計說形如 p p n displaystyle p p n nbsp 的質數對的倒數和大約為4 n displaystyle frac 4 n nbsp 延伸結果 编辑設C 2 0 6601 displaystyle C 2 0 6601 ldots nbsp OEIS數列A005597 為孿生質數常數 則有猜想認為 p 2 x 2 C 2 x log x 2 displaystyle pi 2 x sim 2C 2 frac x log x 2 nbsp 特別地 對於任意充分大的x 0 displaystyle x0 nbsp 以及任意的e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp 有 p 2 x lt 2 C 2 e x log x 2 displaystyle pi 2 x lt 2C 2 varepsilon frac x log x 2 nbsp 對於特殊情況 目前已有證明 在近期 Jie Wu正明說對於任意充分大的x 0 displaystyle x0 nbsp 而言 有 p 2 x lt 4 5 x log x 2 displaystyle pi 2 x lt 4 5 frac x log x 2 nbsp 其中4 5的部分相當於上述的e 3 18 displaystyle varepsilon approx 3 18 nbsp 數學之外 编辑Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦對布朗常數進行計算 但用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦處理長除法時一直出錯 4 他用一個數字去除以824 633 702 441時 答案一直是錯誤的 而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發 並進而造成Intel的公關災難 另外Google曾使用三個數學常數作為交易金額 而其中一個常數是布朗常數 Google曾在北電網路的專利交易中出價1 902 160 540美元 而1 9021605 是布朗常數的約略值 参见 编辑孪生素数 孪生素数猜想 埃拉托斯特尼筛法 素数判定法则 Meissel Mertens常数 奔騰浮點除錯誤 Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的技術錯誤 参考文献 编辑Finch S R Brun s Constant 2 14 in Mathematical Constants Cambridge England Cambridge University Press pp 133 135 2003 Segal B Generalisation du theoreme de Brun Dokl Akad Nauk SSSR 501 507 1930 外部链接 编辑布朗常数的计算 埃里克 韦斯坦因 Brun s Constant MathWorld Brun s constant at PlanetMath 1 0 1 1 1 2 Nicely Thomas R Enumeration to 1 6 10 15 of the twin primes and Brun s constant Some Results of Computational Research in Prime Numbers Computational Number Theory 18 January 2010 16 February 2010 原始内容存档于8 December 2013 Sebah Pascal Gourdon Xavier Introduction to twin primes and Brun s constant computation CiteSeerX 10 1 1 464 1118 nbsp Klyve Dominic Explicit bounds on twin primes and Brun s Constant 24 May 2021 原始内容存档于2023 05 13 Nicely Thomas Pentium FDIV flaw FAQ trnicely net August 19 2011 June 18 2019 原始内容存档于2019 06 18 取自 https zh wikipedia org w index php title 布朗常数 amp oldid 78326607, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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