小十二面二十面體

小十二面二十面體是一種星形均勻多面體，由20個正六邊形和12個正十邊形組成^[1]，索引為U₅₀，對偶多面體為小十二面二十面六十面體（英语：Small dodecicosacron）^[2]，具有二十面體群對稱性（英语：Icosahedral symmetry）^[3][1][4]，並且可以視為小二十面化截半二十面體的刻面（英语：Faceting）多面體^[5]。

小十二面二十面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	小十二面二十面六十面體（英语：Small dodecicosacron）
識別
名稱	小十二面二十面體 small dodecicosahedron small dodekicosahedron
參考索引	U50, C64, W90
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	siddy
性質
面	32
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=32, E=120, V=60 （χ=-28）
組成與佈局
面的種類	20個正六邊形 12個正十邊形
頂點圖	6.10.6/5.10/9
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
6.10.6/5.10/9 （頂點圖） 小十二面二十面六十面體（英语：Small dodecicosacron） （對偶多面體）
查 论 编

性質

小十二面二十面體共由32個面、120條邊和60個頂點組成^[3]。在其32個面中，有20個面是正六邊形面、12個面是正十邊形面^[1]，其中的20個正六邊形面又可以再分成10個一般的正六邊形面（施萊夫利符號：{6}）和10個反向相接的正六邊形面（施萊夫利符號：{6/5}）；其12個正十邊形面又可以再分成6個一般的正十邊形面（施萊夫利符號：{10}）和6個反向相接的正十邊形面（施萊夫利符號：{10/9}）^[6]。在其60個頂點中，每個頂點都是兩個正十邊形面和兩個正六邊形面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正十邊形、正六邊形、反向相接的正十邊形和反向相接的正六邊形的順序排列，在頂點圖中可以用(5.6.5/3.6)^[7]或(10.6.10/9.6/5)^[6][3]來表示。

尺寸

若小十二面二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.72148932}$ 

邊長為單位長的小十二面二十面體，稜切球（英语：Midsphere）半徑為：^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.647278207}$ 

二面角

小十二面二十面體共有兩種二面角，皆為六邊形和十邊形的二面角，但根據所在位置的不同，其角度也不同。這兩種二面角分別位於五角星坑洞的位置以及三角形坑洞的位置。^[5]

其中，位於五角星坑洞位置的六邊形和十邊形的二面角，其角度約為79.18768度：^[5][1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.382085796\approx 79.187683036^{\circ }}$ 

而位於五角星坑洞位置的六邊形和十邊形的二面角，其角度約為79.18768度：^[5][1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.65235813978\approx 37.377368141^{\circ }}$ 

相關多面體

小十二面二十面體與大星形截角十二面体共用相同的頂點佈局。其也與小雙三角十二面截半二十面體和小二十面化截半二十面體共用相同的邊佈局。^[5]

大星形截角十二面体

小二十面化截半二十面體

小雙三角十二面截半二十面體

小十二面二十面體

參見

• 均勻多面體列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）

參考文獻

1. David I. McCooey. Versi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Dodecicosahedron. [2022-08-23]. （原始内容于2022-02-14）. 
2. Weisstein, Eric W. (编). Small Dodecicosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
3. Maeder, Roman. 50: small dodecicosahedron. MathConsult. [2022-08-23]. （原始内容于2022-08-23）. 
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）. 
5. Richard Klitzing. small dodekicosahedron, siddy. bendwavy.org. [2022-08-23]. （原始内容于2021-09-24）. 
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #55, small dodecicosahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容于2022-08-23）. 
7. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-23]. （原始内容 (PDF)于2022-08-14）.