对数正态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 ${\displaystyle Y}$ 是正态分布的随机变量，则 ${\displaystyle \exp(Y)}$（指数函数）为对数正态分布；同样，如果 ${\displaystyle X}$ 是对数正态分布，则 ${\displaystyle \ln X}$为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 ${\displaystyle x>0}$，对数正态分布的概率密度函数为

对数正态分布

概率密度函數 μ=0
累積分布函數 μ=0
参数	${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle -\infty \leq \mu \leq \infty }$
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left[\ln(x)-\mu \right]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$
期望值	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
中位數	${\displaystyle e^{\mu }}$
眾數	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
方差	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$
偏度	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$
峰度	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$
熵	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$
矩生成函数	(参见原始动差文本)
特徵函数	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}$

其中 ${\displaystyle \mu }$ 与 ${\displaystyle \sigma }$ 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

方差为

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,}$

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 ${\displaystyle \mu }$ 与 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).}$

与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 ${\displaystyle \exp(\mu )}$ ，几何標準差等于 ${\displaystyle \exp(\sigma )}$ 。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界	对数空间	几何
3σ 下界	${\displaystyle \mu -3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$
2σ 下界	${\displaystyle \mu -2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
1σ 下界	${\displaystyle \mu -\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }}$
1σ 上界	${\displaystyle \mu +\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }}$
2σ 上界	${\displaystyle \mu +2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
3σ 上界	${\displaystyle \mu +3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$

其中几何平均数 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}$ ，几何標準差 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}$ 

矩

原始矩为：

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}$ 

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}$ 

或者更为一般的矩

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$ 

局部期望

随机变量 ${\displaystyle X}$  在阈值 ${\displaystyle k}$  上的局部期望定义为

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx}$ 

其中 ${\displaystyle f(x)}$  是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

${\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)}$ 

其中 ${\displaystyle \Phi }$  是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

${\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}$ 

其中用 ${\displaystyle f_{L}(\cdot )}$  表示对数正态分布的概率密度函数，用 ${\displaystyle f_{N}(\cdot )}$ — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}}$ 

由于第一项相对于 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  来说是常数，两个对数最大似然函数 ${\displaystyle \ell _{L}}$  与 ${\displaystyle \ell _{N}}$  在同样的 ${\displaystyle \mu }$  与 ${\displaystyle \sigma }$  处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$ 

相关分布

• 如果 ${\displaystyle Y=\ln(X)}$  与 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ，则 ${\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$  是正态分布。
• 如果 ${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}}$  是有同样 ${\displaystyle \mu }$  参数、而 ${\displaystyle \sigma }$  可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}$ ，则 ${\displaystyle Y}$  也是对数正态分布变量：${\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}$ 。

进一步的阅读资料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

参考文献

• 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存档备份，存于互联网档案馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• , John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

参见

• 几何平均数
• 几何标准差
• 误差函数