幾何標準差

在機率論與統計學中，幾何標準差形容一組數值有多分散，用於當這一組數字理應優先選用的平均數為幾何平均數之時。對於這類數據，幾何標準差可能優於普通的標準差。留意幾何標準差是個乘法因數，因此是無因次的，而不似普通的算術標準差，與輸入數值有同樣的因次。

定義

若一組數字{A₁, A₂, ..., A_n}的幾何平均數用μ_g表示，則幾何標準差是

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}\right)\qquad \qquad (1)}$ 

推導

若幾何平均數是

${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}$ 

則兩邊取自然對數得

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})}$ 

乘積的對數等於對數的和（假設對於所有${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle A_{i}}$ 是正數），所以

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}]}$ 

現在可以看出${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$ 是這組${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$ 的算術平均數，因此這同一組的算術標準差應為

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}}$ 

這化簡成

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}}$ 

幾何標準分數

標準分數的幾何版本是

${\displaystyle z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}}$ 

若已知一個數據的幾何平均數、幾何標準差、和幾何標準分數，則可重構原始分數（英语：raw score）

${\displaystyle x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}}$ 

與對數正態分佈的關係

幾何標準差用於量度對數正態分佈的離散程度，就如幾何平均數^[1]。由於對數正態分佈通過對數變換得出正態分佈，可見幾何標準差是e的冪，指數為對數變換後的標準差，即是${\displaystyle \sigma _{g}=\exp(\operatorname {stdev} (\ln(A)))}$ 。

於是乎，從一個呈對數正態分佈的母體中，抽取樣本來計算出幾何平均數和幾何標準差，可用來找出置信區間的上下限，如同使用算術平均數和標準差求正態分佈的置信區間。詳見對數正態分佈。

參考

1. Kirkwood, TBL. Geometric means and measures of dispersion. Biometrics. 1979, 35: 908–9. JSTOR 2530139.